ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log_2(6 — 2x) < \log_2(x^2 — 2x — 3) \):
\((-3; -1)\)

2) \( \log_{0.1}(x^2 — 3x — 4) > \log_{0.1}(x + 1) \):
\((4; 5]\)

3) \( 2 \cdot \log_2(x + 5) < 3 + \log_2(11 + x) \):
\((-5; 7]\)

4) \( \lg(2x^2 — 9x + 4) < 2 \cdot \lg(x + 2) \):
\([0; 0.5) \cup (4; 13]\)

1) \( \log_2(6 — 2x) < \log_2(x^2 — 2x — 3) \)

\(
6 — 2x > x^2 — 2x — 3, \, x^2 — 9 < 0 \, \Rightarrow \, (x + 3)(x — 3) < 0, \, -3 < x < 3
\)

Область определения:

\(
x^2 — 2x — 3 > 0
\)

\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \,
\)

\(
\text{тогда:} \, x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = -1,
\)

\(
\, x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = 3
\)

\(
(x + 1)(x — 3) > 0, \, x < -1, \, x > 3
\)

Ответ: \( (-3; -1) \).

2) \( \log_{0.1}(x^2 — 3x — 4) > \log_{0.1}(x + 1) \):

\(
x^2 — 3x — 4 < x + 1, \, x^2 — 4x — 5 < 0
\)

\(
D = (-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \, \text{тогда:}
\)
\(
\, x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = -1,
\)
\(
\, x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = 5
\)

\(
(x + 1)(x — 5) < 0, \, -1 < x < 5
\)

Область определения:

\(
x^2 — 3x — 4 > 0
\)

\(
D = (-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + (-16) = -25
\)

Ответ: \( (4; 5] \).

3) \( 2 \cdot \log_2(x + 5) < 3 + \log_2(11 + x) \)

\(
\log_2(x + 5)^2 < \log_2(8(11 + x)); \, x^2 + 10x + 25 < 88 + 8x; \, x^2 + 2x — 63 < 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 63 = 4 + 252 = 256, \, \text{тогда:} \, x_1 = \frac{-2 — \sqrt{256}}{2} = -9,
\)
\(
\, x_2 = \frac{-2 + \sqrt{256}}{2} = 7;
\)

\(
(x + 9)(x — 7) < 0, \, -9 < x < 7
\)

Область определения:

\(
11 + x > 0, \, x > -11; \, x + 5 > 0, \, x > -5
\)

Ответ: \( (-5; 7] \).

4) \( \lg(2x^2 — 9x + 4) < 2 \cdot \lg(x + 2) \)

\(
\lg(2x^2 — 9x + 4) < \lg(x + 2)^2; \, 2x^2 — 9x + 4 < x^2 + 4x + 4; \, x(x — 13) < 0, \
\)
\(
\, 0 < x < 13
\)

Область определения:

\(
2x^2 — 9x + 4 > 0
\)

\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49, \, \text{тогда:} \, x_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{4} = 0.5,
\)
\(
\, x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{4} = 4
\)

\(
(x — 0.5)(x — 4) > 0, \, x < 0.5, \, x > 4
\)

\(
x + 2 > 0, \, x > -2
\)

Ответ: \( [0; 0.5) \cup (4; 13] \).