ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log(x) + \log(x-3) > 1, \, \log(x(x-3)) > \log(10):\)
\((5; +\infty)\)

2) \(\log_3(x+2) + \log_3(x) < 1:\)
\((1; +\infty)\)

3) \(\log_2(x) + \log_2(x+4) < 5:\)
\((0; 4)\)

4) \(\log_{0.1}(x-5) + \log_{0.1}(x-2)^2 > -1:\)
\((5; 7]\)

5) \(\log_6(5x+8) + \log_6(x+1) < 1 — \log_6(3):\)
\((-1; -0.6]\)

6) \(\log_3(1-x) + \log_3((-5x-2)^2) \geq \log_3(2) + 1:\)
\((-\infty; -1.4]\)

1) lgx + lg(x-3) > 1; lg(x · (x-3)) > lg10;
x² — 3x > 10, x² — 3x — 10 > 0;
D = 3² + 4 · 1 · 10 = 9 + 40 = 49, тогда:
x₁ = (3 — √49) / 2 = -2,
x₂ = (3 + √49) / 2 = 5.
(x + 2)(x — 5) > 0, x < -2 или x > 5. Область определения:
x — 3 > 0, x > 3. Ответ: (5; +∞).

2) log₃(x+2) + log₃x < 1;
log₃((x+2) · x) < log₃3;
x² + 2x < 3, x² + 2x — 3 < 0;
D = 2² — 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16, тогда:
x₁ = (-2 — √16) / 2 = -4,
x₂ = (-2 + √16) / 2 = 1.
(x + 3)(x — 1) > 0, x < -3 или x > 1. Область определения:
x + 2 > 0, x > -2. Ответ: (1; +∞).

3) log₂x + log₂(x+4) < 5;
log₂(x · (x+4)) < log₂32;
x² + 4x < 32, x² + 4x — 32 < 0;
D = 4² + 4 · 32 = 16 + 128 = 144, тогда:
x₁ = \(\frac{-4 — √144}{2} = -8\),
x₂ = \(\frac{-4 + √144}{2} = 4\).
(x + 8)(x — 4) < 0, -8 < x < 4.
Область определения: x + 4 > 0, x > -4.
Ответ: (0; 4).

4) log₀.₁(x-5) + log₀.₁(x-2)² > -1;
log₀.₁((x-5) · (x-2)²) > log₀.₁10;
x² — 2x — 5x + 10 < 10;
x(x — 7) < 0, 0 < x < 7.
Область определения: x — 5 > 0, x > 5; x — 2 > 0, x > 2.
Ответ: (5; 7].

5) log₆(5x+8) + log₆(x+1) < 1 — log₆3;
log₆((5x+8) · (x+1)) < log₆(6 : 3);
5x² + 13x + 8 < 2,
5x² + 13x + 6 ≤ 0;
D = 13² — 4 · 5 · 6 = 169 — 120 = 49, тогда:
x₁ = \(\frac{-13 — √49}{2 · 5} = -2\),
x₂ = \(\frac{-13 + √49}{2 · 5} = -0.6\).
(x + 2)(x + 0.6) < 0, -2 < x < -0.6.

Область определения:
5x + 8 > 0, x > -1,6;
x + 2 > 0, x > -2;
Ответ: (-1; -0,6].

6) log₃(1-x) + log₃(-5x-2)² ≥ log₃2 + 1;
log₃((1-x) · (-5x-2)²) ≥ log₃4 + log₃3;
-2 + 5x² — 3x ≥ 12,
5x² — 3x — 14 ≥ 0;

D = (-3)² + 4 · 5 · 14 = 9 + 280 = 289, тогда:
\(x₁ = \frac{-(-3) — \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = -1,4\),
\(x₂ = \frac{-(-3) + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = 2\).

Решение:
\((x + 1,4)(x — 2) ≥ 0\),
\(x ≤ -1,4\), \(x ≥ 2\).

Область определения:
-5x — 2 > 0, \(x < -0,4\);
1 — x > 0, \(x < 1\).

Ответ: \((-∞; -1,4]\).