ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log_2(-x) + \log_2(1 — x) \leq 1\):
\([-1; 0]\)

2) \(\log_{0.2}(x — 1) + \log_{0.2}(x + 3) \geq -1\):
\((1; 2]\)

3) \(\log_3(x — 2) + \log_3(x — 10) \geq 2\):
\([11; +\infty)\)

4) \(\log_7(x) + \log_7(3x — 8) \geq 1 + 2 \log_7(2)\):

\(\left[4 \frac{2}{3}; +\infty\right)\)

1)
\(
\log_2(-x) + \log_2(1 — x) \leq 1
\)
Упрощение:
\(
\log_2(-x \cdot (1 — x)) \leq \log_2 2
\)
Далее:
\(
-x + x^2 \leq 2, \quad x^2 — x — 2 \leq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)
Факторизация и диапазон решения:
\(
(x + 1)(x — 2) \leq 0, \quad -1 \leq x \leq 2
\)
Область определения:
\(
1 — x > 0, \quad x < 1
\)
Ответ:
\(
[-1; 0].
\)

2)
\(
\log_{0.2}(x — 1) + \log_{0.2}(x + 3) \geq -1
\)
Упрощение:
\(
\log_{0.2}((x — 1) \cdot (x + 3)) \geq \log_{0.2}5
\)
Далее:
\(
x^2 + 2x — 3 \leq 5, \quad x^2 + 2x — 8 \leq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\)
Факторизация и диапазон решения:
\(
(x + 4)(x — 2) \leq 0, \quad -4 \leq x \leq 2
\)
Область определения:
— \(x + 3 > 0,\) то есть \(x > -3\)
— \(x — 1 > 0,\) то есть \(x > 1\)

Пересечение диапазонов:
Ответ:
\(
(1; 2].
\)

3)
\(
\log_3(x-2) + \log_3(x-10) \geq 2
\)
\(
\log_3((x-2) \cdot (x-10)) \geq \log_3 9
\)
\(
x^2 — 12x + 20 \geq 9, \quad x^2 — 12x + 11 \geq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 — 44 = 100
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11
\)
\(
(x — 1)(x — 11) \geq 0, \quad x \leq 1, \quad x \geq 11
\)
Область определения:
\(
x — 10 > 0, \quad x > 10; \quad x — 2 > 0, \quad x > 2
\)
Ответ:
\(
[11; +\infty)
\)

4)
\(
\log_7 x + \log_7(3x-8) \geq 1 + 2 \log_7 2
\)
\(
\log_7(x \cdot (3x — 8)) \geq \log_7 7 + \log_7 4
\)
\(
3x^2 — 8x \geq 28, \quad 3x^2 — 8x — 28 \geq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 28 = 64 + 336 = 400
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-8 — 20}{6} = -3, \quad x_2 = \frac{-8 + 20}{6} = \frac{4}{3}
\)
Факторизация:
\(
(x + 3)(x — \frac{4}{3}) \geq 0
\)
Область определения:
\(x > \frac{8}{3}\)

Ответ:
\(\left[4 \frac{2}{3}; +\infty\right)\)