ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log x < \log 4 \); \( 10 > 0, x < 4 \);
Ответ: \( (0; 4) \).

2) \( \log_5(x) > \log_5(6) \); \( x > 6 \);
Ответ: \( (6; +\infty) \).

3) \( \log_{12}(x — 8) > \log_{12}(3) \); \( 12 > 0, x — 8 > 3, x > 11 \);
Ответ: \( (11; +\infty) \).

4) \( \log_{16}(4x — 6) < \log_{16}(10) \);
\( 4x — 6 < 10, 4x < 16, x < 4 \);
\( 4x — 6 > 0, 4x > 6, x > 1.5 \);
Ответ: \( (1.5; 4) \).

5) \( \log_8(2 — x) < \log_8(\sqrt{2}) \);
\( 2 — x > \sqrt{2}, -x > \sqrt{2} — 2, x < 2 — \sqrt{2} \);
Ответ: \( (-\infty; 2 — \sqrt{2}) \).

6) \( \log_{0.9}(2x + 1) > \log_{0.9}(5) \);
\( 2x + 1 < 5.7, 2x < 4, x < 2 \);
\( 2x + 1 > 0, x > -0.5 \);
Ответ: \( (-0.5; 2) \).

1) \( \log(x) < \log(4) \).
Из свойства логарифмов следует, что если основание логарифма больше нуля и не равно единице, то знак неравенства сохраняется. Основание логарифма по умолчанию \( 10 > 0 \), следовательно:
\( x < 4 \).
Ответ: \( (0; 4) \).

2) \( \log_5(x) > \log_5(6) \).
Так как основание логарифма \( 5 > 0 \) и \( 5 \neq 1 \), знак неравенства сохраняется. Следовательно:
\( x > 6 \).
Ответ: \( (6; +\infty) \).

3) \( \log_{12}(x — 8) > \log_{12}(3) \).
Основание логарифма \( 12 > 0 \) и \( 12 \neq 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется. Следовательно:
\( x — 8 > 3 \), откуда:
\( x > 11 \).
Ответ: \( (11; +\infty) \).

4) \( \log_{16}(4x — 6) < \log_{16}(10) \).
Основание логарифма \( 16 > 0 \) и \( 16 \neq 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется. Следовательно:
\( 4x — 6 < 10 \), откуда:
\( 4x < 16 \), следовательно:
\( x < 4 \).

Дополнительно учитываем условие области определения логарифма:
\( 4x — 6 > 0 \), откуда:
\( 4x > 6 \), следовательно:
\( x > 1.5 \).

Таким образом, объединяя оба условия, получаем:
Ответ: \( (1.5; 4) \).

5) \( \log_8(2 — x) < \log_8(\sqrt{2}) \).
Основание логарифма \( 8 > 0 \) и \( 8 \neq 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется. Следовательно:
\( 2 — x > \sqrt{2} \), откуда:
\( -x > \sqrt{2} — 2 \), следовательно:
\( x < 2 — \sqrt{2} \).

Дополнительно учитываем условие области определения логарифма:
\( 2 — x > 0 \), откуда:
\( x < 2 \).

Таким образом, объединяя оба условия, получаем:
Ответ: \( (-\infty; 2 — \sqrt{2}) \).

6) \( \log_{0.9}(2x + 1) > \log_{0.9}(5) \).
Основание логарифма \( 0.9 < 1 \), поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Следовательно:
\( 2x + 1 < 5.7 \), откуда:
\( 2x < 4.7 \), следовательно:
\( x < 2.35 \).

Дополнительно учитываем условие области определения логарифма:
\( 2x + 1 > 0 \), откуда:
\( x > -0.5 \).

Таким образом, объединяя оба условия, получаем:
Ответ: \( (-0.5; 2.35) \).