ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log_{7}(7x) — \log_{7}x \geq 3 \)
Решение:
\( (0; \frac{1}{49}] \cup [7; +\infty) \).

2) \( \log_{6}^{2}\left(\frac{x}{216}\right) + 8\log_{6}x — 12 \leq 0 \)
Решение:
\( [\frac{1}{216}; 6] \).

3) \( \log_{3}x — 6\log_{3}x + 8 \geq 0 \)
Решение:
\( (3; 9] \cup [81; +\infty) \).

4) \( \log_{0.5}x — 2\log_{0.5}x \leq 1 \)
Решение:
\( [0.25; 1) \cup [2; +\infty) \).

1) \( \log_{7}(7x) — \log_{7}x \geq 3; \)
\( (1 + \log_{7}x)^2 — \log_{7}x — 3 \geq 0; \)
\( \log_{7}x + \log_{7}x — 2 \geq 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 = 3^2, \) тогда:
\( x_1 = -2, x_2 = 1; \)
\( (\log_{7}x + 2) \cdot (\log_{7}x — 1) \geq 0; \)
\( \log_{7}x \leq -2, \log_{7}x \geq 1; \)
\( 0 < x \leq \frac{1}{49}, x \geq 7; \)

Ответ:
\( (0; \frac{1}{49}] \cup [7; +\infty). \)

2) \( \log_{6}^{2}\left(\frac{x}{216}\right) + 8\log_{6}x — 12 \leq 0; \)
\( (\log_{6}x — 3)^2 + 8\log_{6}x — 12 \leq 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2, \) тогда:
\( x_1 = -3, x_2 = 1; \)
\( (\log_{6}x + 3) \cdot (\log_{6}x — 1) \leq 0, -3 \leq \log_{6}x \leq 1; \)
\( 6^{-3} < x \leq 6^{1}; \frac{1}{216} \leq x \leq 6; \)

Ответ:
\( [\frac{1}{216}; 6]. \)

\( \log_{3}x — 6\log_{3}x + 8 \geq 0; \)
\( \log_{3}x — 1 \)

\( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \) тогда:
\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4; \)
\( (\log_{3}x — 2) \cdot (\log_{3}x — 4) \geq 0; \)
\( \log_{3}x — 1; \)
\( 1 < \log_{3}x \leq 2, \log_{3}x \geq 4; \)
\( 3 < x \leq 9, x \geq 81; \)

Ответ:
\( (3; 9] \cup [81; +\infty). \)

4) \( \log_{0.5}x — 2\log_{0.5}x \leq 1; \)
\( \frac{\log_{0.5}x}{2} — 1 \leq 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 = 3^2, \) тогда:
\( x_1 = -1, x_2 = 2; \)
\( (\log_{0.5}x + 1) \cdot (\log_{0.5}x — 2) \leq 0; \)
\( \log_{0.5}x \leq -1, 0 < \log_{0.5}x \leq 2; \)
\( x \geq 2, 0.25 < x < 1; \)

Ответ:
\( [0.25; 1) \cup [2; +\infty). \)