ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(y = (x — 1)x^{\frac{1}{3}}\):
\(
y’ = \frac{d}{dx}[(x — 1)] \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x — 1) \cdot \frac{d}{dx}[x^{\frac{1}{3}}]
\)
\(
y’ = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x — 1}{3x^{\frac{2}{3}}}
\)

2) \(y = \frac{x — 1}{x^2 + 1}\):
\(
y’ = \frac{(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}[x — 1] — (x — 1) \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 1]}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y’ = \frac{(x^2 + 1) — 2x(x — 1)}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y’ = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}
\)

3) \(y = \sqrt{2 — 5x}\):
\(
y = (2 — 5x)^{\frac{1}{2}}
\)
\(
y’ = \frac{1}{2}(2 — 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-5)
\)
\(
y’ = \frac{-5}{2\sqrt{2 — 5x}}
\)

1) \(y = (x — 1)x^{\frac{1}{3}}\):
Используем правило произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}[(x — 1)] \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x — 1) \cdot \frac{d}{dx}[x^{\frac{1}{3}}]
\)
\(
y’ = 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x — 1) \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}
\)
\(
y’ = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x — 1}{3x^{\frac{2}{3}}}
\)

2) \(y = \frac{x — 1}{x^2 + 1}\):
Используем правило частного:
\(
y’ = \frac{\frac{d}{dx}[x — 1] \cdot (x^2 + 1) — (x — 1) \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 1]}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y’ = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) — (x — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y’ = \frac{x^2 + 1 — 2x(x — 1)}{(x^2 + 1)^2}
\)
Раскрываем скобки в числителе:
\(
y’ = \frac{x^2 + 1 — 2x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y’ = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}
\)

3) \(y = \sqrt{2 — 5x}\):
Перепишем функцию как \(y = (2 — 5x)^{\frac{1}{2}}\). Используем правило цепочки:
\(
y’ = \frac{1}{2}(2 — 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}[2 — 5x]
\)
\(
y’ = \frac{1}{2}(2 — 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-5)
\)
\(
y’ = \frac{-5}{2\sqrt{2 — 5x}}
\)

Ответы:
1) \(y’ = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x — 1}{3x^{\frac{2}{3}}}\);
2) \(y’ = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}\);
3) \(y’ = \frac{-5}{2\sqrt{2 — 5x}}\).