Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Дана функция:
\(y(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
Функция возрастает:
\(
y’ = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \geq 0
\)
\(
x^2 + 1 — 2x^2 \geq 0, \quad 1 — x^2 \geq 0
\)
\(
x^2 \leq 1, \quad -1 \leq x \leq 1
\)
Ответ: функция возрастает на \([-1; 1]\);
убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\);
\(x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1\)
Дана функция:
\(
y(x) = \frac{x}{x^2 + 1}
\)
Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем первую производную:
\(
y'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
Упростим числитель:
\(
y'(x) = \frac{x^2 + 1 — 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y'(x) = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}
\)
Производная \(y'(x)\) будет положительной, если числитель \(1 — x^2 \geq 0\). Решим это неравенство:
\(
1 — x^2 \geq 0
\)
\(
x^2 \leq 1
\)
\(
-1 \leq x \leq 1
\)
Таким образом, функция возрастает на промежутке \((-1; 1)\), так как производная положительна.
Функция убывает, если производная отрицательна, а это происходит при \(1 — x^2 < 0\). Решим это неравенство:
\(
x^2 > 1
\)
\(
x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)
\)
Следовательно, функция убывает на промежутках \((-\infty; -1)\) и \((1; +\infty)\).
Минимальное значение функции достигается в точке \(x_{\text{min}} = -1\), а максимальное значение функции — в точке \(x_{\text{max}} = 1\).
Ответ:
Функция возрастает на \((-1; 1)\).
Функция убывает на \((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\).
\(
x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.