ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дана функция:
\(y(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)

Функция возрастает:
\(
y’ = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \geq 0
\)
\(
x^2 + 1 — 2x^2 \geq 0, \quad 1 — x^2 \geq 0
\)
\(
x^2 \leq 1, \quad -1 \leq x \leq 1
\)

Ответ: функция возрастает на \([-1; 1]\);
убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\);
\(x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1\)

Дана функция:

\(
y(x) = \frac{x}{x^2 + 1}
\)

Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем первую производную:

\(
y'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)

Упростим числитель:

\(
y'(x) = \frac{x^2 + 1 — 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\)

\(
y'(x) = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}
\)

Производная \(y'(x)\) будет положительной, если числитель \(1 — x^2 \geq 0\). Решим это неравенство:

\(
1 — x^2 \geq 0
\)

\(
x^2 \leq 1
\)

\(
-1 \leq x \leq 1
\)

Таким образом, функция возрастает на промежутке \((-1; 1)\), так как производная положительна.

Функция убывает, если производная отрицательна, а это происходит при \(1 — x^2 < 0\). Решим это неравенство:

\(
x^2 > 1
\)

\(
x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)
\)

Следовательно, функция убывает на промежутках \((-\infty; -1)\) и \((1; +\infty)\).

Минимальное значение функции достигается в точке \(x_{\text{min}} = -1\), а максимальное значение функции — в точке \(x_{\text{max}} = 1\).

Ответ:

Функция возрастает на \((-1; 1)\).
Функция убывает на \((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\).
\(
x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1
\)