ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. \( (e^x)’ = e^x \)
2. \( f'(0) = 1 \), касательная параллельна \( y = x \)
3. \( \log_e a = \ln a \)
4.
i. \( (a^x)’ = a^x \ln a \)
ii. \( (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \)
iii. \( (x^a)’ = ax^{a-1} \)

1. Производная показательной функции
\( y(x) = e^x \)
равна самой функции:
\( y’ = (e^x)’ = e^x \)
Эту функцию называют экспонентой, а \( e \) — постоянной Эйлера.

2. Касательная к графику экспоненты
В точке с абсциссой \( x = 0 \) имеет угловой коэффициент, равный единице:
\( f'(0) = f(0) = e^0 = 1 \)
Значит, эта касательная параллельна прямой \( y = x \).

3. Логарифм по основанию \( e \)
Называют натуральным логарифмом:
\( \log_e a = \ln a \)

4. При \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \):
i. Производная показательной функции:
\( (a^x)’ = a^x \ln a \)
ii. Производная логарифмической функции:
\( (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \)
iii. Производная степени с переменной основой:
\( (x^a)’ = ax^{a-1} \)