ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( y = x^{\sqrt{5}} \),
\( y’ = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1} \)

2) \( y = 4e^x \),
\( y’ = 4e^x \)

3) \( y = e^{5x} \),
\( y’ = 5e^{5x} \)

4) \( y = x^3 e^x \),
\( y’ = 3x^2e^x + x^3e^x = x^2e^x(3 + x) \)

5) \( y = x^{\sqrt{3}} e^x \),
\( y’ = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}e^x + x^{\sqrt{3}}e^x = e^x(\sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1} + x^{\sqrt{3}}) \)

6) \( y = e^x \sin(x) \),
\( y’ = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) = e^x (\sin(x) + \cos(x)) \)

7) \( y = \frac{e^x}{x-2} \),
\( y’ = \frac{e^x(x — 2) — e^x}{(x-2)^2} = \frac{e^x(x — 3)}{(x-2)^2} \)

8) \( y = e^x + e^{-x} \),
\( y’ = e^x — e^{-x} \)

9) \( y = 5^x \),
\( y’ = 5^x \ln(5) \)

10) \( y = 2^{x^2} \),
\( y’ = 2^{x^2} \ln(2) \cdot 2x \)

11) \( y = 7^{2x-3} \),
\( y’ = 7^{2x-3} \ln(7) \cdot 2 \)

12) \( y = x \cdot 3^x \),
\( y’ = 3^x + x \cdot 3^x \ln(3) \)

13) \( y = \frac{2^x — 3}{2^x + 1} \),
\( y’ = \frac{2^x \ln(2)(2^x + 1) — 2^x \ln(2)(2^x — 3)}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^x \ln(2)(4)}{(2^x + 1)^2} \)

14) \( y = 0.3^{\tan(x)} \),
\( y’ = \frac{0.3^{\tan(x)} \ln(0.3)}{\cos^2(x)} \)

1) \( y = x^{\sqrt{5}} \)

Используем правило дифференцирования степенной функции:
\( y’ = n \cdot x^{n-1} \), где \( n = \sqrt{5} \).

Получаем:
\( y’ = \sqrt{5} \cdot x^{\sqrt{5}-1} \).

2) \( y = 4e^x \)

Производная экспоненты \( e^x \) равна самой функции, а множитель \( 4 \) остаётся:
\( y’ = 4e^x \).

3) \( y = e^{5x} \)

Используем правило цепочки: производная экспоненты \( e^{u} \) равна \( e^u \cdot u’ \), где \( u = 5x \).

\( y’ = e^{5x} \cdot (5) = 5e^{5x} \).

4) \( y = x^3 e^x \)

Применяем правило произведения:
\( (uv)’ = u’v + uv’ \), где \( u = x^3 \), \( v = e^x \).

Находим:
\( u’ = 3x^2, \, v’ = e^x \).

Подставляем:
\( y’ = (3x^2)e^x + x^3(e^x) = e^x(3x^2 + x^3) \).

5) \( y = x^{\sqrt{3}} e^x \)

Применяем правило произведения:
\( (uv)’ = u’v + uv’ \), где \( u = x^{\sqrt{3}}, v = e^x \).

Находим:
\( u’ = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}, \quad v’ = e^x \).

Подставляем:
\( y’ = u’v + uv’ = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}e^x + x^{\sqrt{3}}e^x \).

Сгруппируем:
\( y’ = e^x(\sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1} + x^{\sqrt{3}}) \).

6) \( y = e^x \sin(x) \)

Применяем правило произведения:
\( (uv)’ = u’v + uv’ \), где \( u = e^x, v = \sin(x) \).

Находим:
\( u’ = e^x, \quad v’ = \cos(x) \).

Подставляем:
\( y’ = u’v + uv’ = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \).

Сгруппируем:
\( y’ = e^x (\sin(x) + \cos(x)) \).

7) \( y = \frac{e^x}{x-2} \)

Применяем правило дифференцирования дроби:
\( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2} \), где \( u = e^x, v = x-2 \).

Находим:
\( u’ = e^x, \quad v’ = 1 \).

Подставляем:
\( y’ = \frac{e^x(x-2) — e^x}{(x-2)^2} \).

Упростим числитель:
\( y’ = \frac{e^x(x-2-1)}{(x-2)^2} = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2} \).

8) \( y = e^x + e^{-x} \)

Производная суммы равна сумме производных:
\( y’ = (e^x)’ + (e^{-x})’ \).

Находим:
\( (e^x)’ = e^x, \quad (e^{-x})’ = -e^{-x} \).

Подставляем:
\( y’ = e^x — e^{-x} \).

9) \( y = 5^x \)

Используем правило дифференцирования экспоненты с основанием \( a > 0 \):
\( (a^x)’ = a^x \ln(a) \), где \( a = 5 \).

Получаем:
\( y’ = 5^x \ln(5) \).

10) \( y = 2^{x^2} \)

Используем правило цепочки для функции вида \( a^{u(x)} \):
\( (a^{u})’ = a^{u} \ln(a) u’ \), где \( a = 2, u = x^2 \).

Находим:
\( u’ = 2x \).

Подставляем:
\( y’ = 2^{x^2} \ln(2) \cdot 2x \).

11) \( y = 7^{2x-3} \)

Используем правило цепочки для функции вида \( a^{u(x)} \):
\( (a^{u})’ = a^{u} \ln(a) u’ \), где \( a = 7, u = 2x-3 \).

Находим:
\( u’ = 2 \).

Подставляем:
\( y’ = 7^{2x-3} \ln(7) \cdot 2 \).

12) \( y = x \cdot 3^x \)

Применяем правило произведения:
\( (uv)’ = u’v + uv’ \), где \( u = x, v = 3^x \).

Находим:
\( u’ = 1, v’ = 3^x \ln(3) \).

Подставляем:
\( y’ = u’v + uv’ = 1 \cdot 3^x + x(3^x \ln(3)) \).

Сгруппируем:
\( y’ = 3^x + x \cdot 3^x \ln(3) \).

13) \( y = \frac{2^x — 3}{2^x + 1} \)

Применяем правило дифференцирования дроби:
\( y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2} \), где \( u = 2^x — 3, v = 2^x + 1 \).

Находим:
\( u’ = 2^x \ln(2), v’ = 2^x \ln(2) \).

Подставляем в формулу:
\[
y’ =
\frac{
(2^x\ln(2))(2^x+1) — (2^x\ln(2))(2^x-3)
}{
(2^x+1)^2
}.
\]

Упростим числитель:
\[
y’ =
\frac{
2^x\ln(2)(4)
}{
(2^x+1)^2
}.
\]

14) \( y = 0.3^{\tan(x)} \)

Используем правило цепочки для функции вида \( a^{u(x)} \):
\( (a^{u})’ = a^{u} \ln(a) u’ \), где \( a = 0.3, u = \tan(x) \).

Находим производную \( u’: (\tan(x))’ = \sec^2(x) \).

Подставляем:
\[
y’ =
0.3^{\tan(x)}
\cdot
\ln(0.3)
\cdot
\sec^2(x).
\]

Запишем через косинус:
\[
y’ =
\frac{
0.3^{\tan(x)}
\cdot
\ln(0.3)
}{
\cos^2(x)
}.
\]