ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. \( f(x) = e^{-2x} \):
\( y = 1 — 2x \).

2. \( f(x) = e^x + \sin(x) \):
\( y = 1 + 2x \).

3. \( f(x) = x \cdot 2^x \):
\( y = (2 + 2\ln(2))x — 2\ln(2) \).

4. *\( f(x) = 6^{3x+4} \):
\( y = 18x\ln(6) + 18\ln(6) + 6 \).

5. \( f(x) = 3x + \ln(x) \):
\( y = 4x — 1 \).

6. \( f(x) = \ln(5 + 4x) \):
\( y = 4x + 4 \)

7. \( f(x) = \log_3(2x + 1) \):
\( y = \frac{2x}{3\ln(3)} — \frac{2}{3\ln(3)} + 1 \).

8. \( f(x) = 2\ln(x — 2) \):
\( y = x + 2\ln(2) — 4 \).

1. \( f(x) = e^{-2x}, \, x_0 = 0 \):
\(
f(0) = e^{-2 \cdot 0} = e^0 = 1, \quad f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}, \quad f'(0) = -2
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 1 — 2(x — 0) = 1 — 2x
\)
Ответ: \( y = 1 — 2x \).

2. \( f(x) = e^x + \sin x, \, x_0 = 0 \):
\(
f(0) = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1, \quad f'(x) = e^x + \cos x, \quad f'(0) = 1 + 1 = 2
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 1 + 2(x — 0) = 1 + 2x
\)
Ответ: \( y = 1 + 2x \).

3. \( f(x) = x \cdot 2^x, \, x_0 = 1 \):
\(
f(1) = 1 \cdot 2^1 = 2, \quad f'(x) = 1 \cdot 2^x + x \cdot 2^x \ln 2
\)
При \( x = 1 \):
\(
f'(1) = 2^1 + 1 \cdot 2^1 \ln 2 = 2 + 2\ln 2
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 2 + (2 + 2\ln 2)(x — 1)
\)
Преобразуем:
\(
y = 2 + 2x + 2x\ln 2 — 2 — 2\ln 2
\)
Ответ: \( y = (2 + 2\ln 2)x — 2\ln 2 \).

4. \( f(x) = 6^{3x+4}, \, x_0 = -1 \):
\(
f(-1) = 6^{-3+4} = 6^1 = 6, \quad f'(x) = 6^{3x+4} \ln 6
\)
При \( x = -1 \):
\(
f'(-1) = 3 \cdot 6^1 \ln 6 = 18\ln 6
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 6 + (18\ln 6)(x + 1)
\)
Преобразуем:
\(
y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6
\)
Ответ: \( y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6 \).

5) \( f(x) = 3x + \ln(x), \, x_0 = 1 \):
\(
f(1) = 3 + \ln(1) = 3 + 0 = 3, \quad f'(x) = 3 + \frac{1}{x}, \quad f'(1) = 3 + 1 = 4
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 3 + 4(x — 1) = 4x — 1
\)
Ответ: \( y = 4x — 1 \).

6) \( f(x) = \ln(5 + 4x) \) в точке \( x_0 = -1 \):\(
f(-1) = \ln(5 + 4(-1)) = \ln(5 — 4) = \ln(1) = 0
\)

\(
f'(x) = \frac{4}{5 + 4x}
\)

\(
f'(-1) = \frac{4}{5 + 4(-1)} = \frac{4}{5 — 4} = \frac{4}{1} = 4
\)

Уравнение касательной:
\(
y — f(x_0) = f'(x_0)(x — x_0)
\)
\(
y — 0 = 4(x — (-1)) = 4(x + 1)
\)
\(
y = 4x + 4
\)

Ответ: \( y = 4x + 4 \).

7) \( f(x) = \log_3(2x + 1), \, x_0 = 1 \):
\(
f(1) = \log_3(2(1) + 1) = \log_3(3) = 1, \quad f'(x) = \frac{2}{(2x + 1)\ln(3)}, \quad f'(1) = \frac{2}{3\ln(3)}
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 1 + \frac{2}{3\ln(3)}(x — 1)
\)
Приводим к виду:
\(
y = \frac{2x}{3\ln(3)} — \frac{2}{3\ln(3)} + 1
\)
Ответ: \( y = \frac{2x}{3\ln(3)} — \frac{2}{3\ln(3)} + 1 \).

8) \( f(x) = 2\ln(x — 2), \, x_0 = 4 \):
\(
f(4) = 2\ln(4 — 2) = 2\ln(2), \quad f'(x) = \frac{2}{x — 2}, \quad f'(4) = \frac{2}{4 — 2} = 1
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 2\ln(2) + (x — 4)
\)
Приводим к виду:
\(
y = x + 2\ln(2) — 4
\)
Ответ: \( y = x + 2\ln(2) — 4 \).