ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = e^x + e^{-x} \);
\( f'(x) = e^x — e^{-x} = 0 \);
\( e^x = e^{-x} \), \( x = -x \), \( x = 0 \);
\( f(0) = e^0 + e^{-0} = 2 \);
Ответ: \( y = 2 \).

2) \( f(x) = (2^x — 7)(2^x — 9) \);
\( f'(x) = 2^x \ln 2 (2^x — 9) + 2^x \ln 2 (2^x — 7) \);
\( f'(x) = 2 \cdot 2^x \ln 2 (2^x — 8) = 0 \);
\( 2 \cdot 2^x — 16 = 0 \), \( 2^x — 8 = 0 \), \( 2^x = 8 \);
\( x = 3 \), \( f(3) = (8 — 7)(8 — 9) = -1 \);
Ответ: \( y = -1 \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^x + e^{-x} \). Найдем её производную:
\( f'(x) = e^x — e^{-x} \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:
\( f'(x) = 0 \ — e^x — e^{-x} = 0 \).

Сгруппируем слагаемые:
\( e^x = e^{-x} \).

Перепишем \( e^{-x} \) как \( \frac{1}{e^x} \):
\( e^x = \frac{1}{e^x} \).

Умножим обе части на \( e^x \) (при \( e^x > 0 \)):
\( (e^x)^2 = 1 \).

Возьмем квадратный корень:
\( e^x = \pm 1 \).

Так как \( e^x > 0 \) для всех \( x \), остается только \( e^x = 1 \).
Из этого следует:
\( x = 0 \).

Подставим найденное значение \( x = 0 \) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этой точке:
\( f(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2 \).

Ответ: \( y = 2 \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = (2^x — 7)(2^x — 9) \). Найдем её производную с помощью правила произведения:
\( f'(x) = (2^x — 7) \cdot (2^x \ln 2) + (2^x — 9) \cdot (2^x \ln 2) \).

Вынесем общий множитель \( 2^x \ln 2 \):
\( f'(x) = 2^x \ln 2 \big[(2^x — 7) + (2^x — 9)\big] \).

Упростим выражение в скобках:
\) f'(x) = 2^x \ln 2 (2^x + 2^x — 7 — 9) = 2^x \ln 2 (2 \cdot 2^x — 16) \).

Приравняем производную к нулю:
\( f'(x) = 0 \ — 2^x \ln 2 (2 \cdot 2^x — 16) = 0 \).

Поскольку \( 2^x > 0 \) и \( \ln 2 > 0 \), остается:
\( 2 \cdot 2^x — 16 = 0 \).

Решим это уравнение:
\( 2 \cdot 2^x = 16 \).
\( 2^x = 8 \).

Представим \( 8 \) как степень двойки:
\( 2^x = 2^3 \ —  x = 3 \).

Теперь подставим \( x = 3 \) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этой точке:
\( f(3) = (2^3 — 7)(2^3 — 9) = (8 — 7)(8 — 9) = 1 \cdot (-1) = -1 \).

Ответ: \( y = -1 \).