ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = e^x, \, y = e^x — 6; \, f'(x) = e^x = e, \, x = 1; \, f(1) = e, \, y = e + e(x — 1); \)
\( y = e + e^x — e = e^x; \)
Ответ: \( y = e^x \).

2) \( f(x) = e^{5x+2}, \, y = 5x + 7; \, f'(x) = 5 \cdot e^{5x+2} = 5, \, e^{5x+2} = 1;\, 5x + 2 = 0, \)
\(5x = -2, \, x = -0.4; \)
\( f(-0.4) = e^{-2+2} = e^0 = 1; \, y = 1 + 5(x + 0.4) = 5x + 3; \)
Ответ: \( y = 5x + 3 \).

3) \( f(x) = e^{-2x}, \, y = -x; \, f'(x) = -2 \cdot e^{-2x} = -1; \, e^{-2x} = \frac{1}{2}; \, -2x = \ln(2); \, \)
\(x = -\frac{\ln(2)}{2}; \)
\( f\left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) = e^{-\ln(2)} = \frac{1}{2}; \, y = -\frac{\ln(2)}{2} + x + \frac{1}{2}; \)
Ответ: \( y = -x + \frac{\ln(2)}{2} + \frac{1}{2}. \)

4) \( f(x) = \ln(3x — 2), \, y = 3x — 2; \, f'(x) = \frac{3}{3x — 2} = 3, \, 3x — 2 = 1; \, 3x = 3, \, x = 1; \)
\( f(1) = \ln 1 = 0; \, y = 0 + 3(x — 1) = 3x — 3; \)
Ответ: \( y = 3x — 3 \).

1) \(f(x) = e^{x}, \, y = e^{x} — 6\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = e^{x}\).

Рассмотрим точку \(x = 1\):
\(f'(1) = e\), \(f(1) = e\).

Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f(1) + f'(1)(x — 1)\).

Подставляем значения:
\(y = e + e(x — 1)\).

Упростим:
\(y = e + ex — e = e^{x}\).

Ответ: \(y = e^{x}\).

2) \(f(x) = e^{5x+2}, \, y = 5x + 7\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = 5 \cdot e^{5x+2}\).

В точке касания \(f'(x) = 5\), то есть:
\(5 \cdot e^{5x+2} = 5\).

Отсюда:
\(e^{5x+2} = 1\).

Возьмем натуральный логарифм:
\(5x + 2 = \ln(1)\).

Так как \(\ln(1) = 0\), то:
\(5x + 2 = 0\), \(5x = -2\), \(x = -0.4\).

Найдем значение функции в точке \(x = -0.4\):
\(f(-0.4) = e^{5(-0.4)+2} = e^{0} = 1\).

Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f(-0.4) + f'(-0.4)(x + 0.4)\).

Подставляем значения:
\(y = 1 + 5(x + 0.4)\).

Упростим:
\(y = 5x + 3\).

Ответ: \(y = 5x + 3\).

3) \(f(x) = e^{-2x}, \, y = -x\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}\).

В точке касания \(f'(x) = -1\), то есть:
\(-2 \cdot e^{-2x} = -1\).

Отсюда:
\(e^{-2x} = \frac{1}{2}\).

Возьмем натуральный логарифм:
\(-2x = \ln\left(\frac{1}{2}\right)\).

Так как \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)\), то:
\(-2x = -\ln(2)\), \(x = \frac{\ln(2)}{2}\).

Найдем значение функции в точке \(x = \frac{\ln(2)}{2}\):
\(f\left(\frac{\ln(2)}{2}\right) = e^{-2 \cdot \frac{\ln(2)}{2}} = e^{-\ln(2)} = \frac{1}{e^{\ln(2)}} = \frac{1}{2}\).

Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f\left(\frac{\ln(2)}{2}\right) + f’\left(\frac{\ln(2)}{2}\right)\left(x — \frac{\ln(2)}{2}\right)\).

Подставляем значения:
\(y = \frac{1}{2} + (-1)\left(x — \frac{\ln(2)}{2}\right)\).

Упростим:
\(y = \frac{1}{2} — x + \frac{\ln(2)}{2}\).

Ответ: \(y = -x + \frac{\ln(2)}{2} + \frac{1}{2}\).

4) \(f(x) = \ln(3x — 2), \, y = 3x — 2\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = \frac{3}{3x — 2}\).

В точке касания \(f'(x) = 3\), то есть:
\(\frac{3}{3x — 2} = 3\).

Отсюда:
\(3x — 2 = 1\), \(3x = 3\), \(x = 1\).

Найдем значение функции в точке \(x = 1\):
\(f(1) = \ln(3 \cdot 1 — 2) = \ln(1) = 0\).

Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f(1) + f'(1)(x — 1)\).

Подставляем значения:
\(y = 0 + 3(x — 1)\).

Упростим:
\(y = 3x — 3\).

Ответ: \(y = 3x — 3\).