Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \( f(x) = e^x, \, y = e^x — 6; \, f'(x) = e^x = e, \, x = 1; \, f(1) = e, \, y = e + e(x — 1); \)
\( y = e + e^x — e = e^x; \)
Ответ: \( y = e^x \).
2) \( f(x) = e^{5x+2}, \, y = 5x + 7; \, f'(x) = 5 \cdot e^{5x+2} = 5, \, e^{5x+2} = 1;\, 5x + 2 = 0, \)
\(5x = -2, \, x = -0.4; \)
\( f(-0.4) = e^{-2+2} = e^0 = 1; \, y = 1 + 5(x + 0.4) = 5x + 3; \)
Ответ: \( y = 5x + 3 \).
3) \( f(x) = e^{-2x}, \, y = -x; \, f'(x) = -2 \cdot e^{-2x} = -1; \, e^{-2x} = \frac{1}{2}; \, -2x = \ln(2); \, \)
\(x = -\frac{\ln(2)}{2}; \)
\( f\left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) = e^{-\ln(2)} = \frac{1}{2}; \, y = -\frac{\ln(2)}{2} + x + \frac{1}{2}; \)
Ответ: \( y = -x + \frac{\ln(2)}{2} + \frac{1}{2}. \)
4) \( f(x) = \ln(3x — 2), \, y = 3x — 2; \, f'(x) = \frac{3}{3x — 2} = 3, \, 3x — 2 = 1; \, 3x = 3, \, x = 1; \)
\( f(1) = \ln 1 = 0; \, y = 0 + 3(x — 1) = 3x — 3; \)
Ответ: \( y = 3x — 3 \).
1) \(f(x) = e^{x}, \, y = e^{x} — 6\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = e^{x}\).
Рассмотрим точку \(x = 1\):
\(f'(1) = e\), \(f(1) = e\).
Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f(1) + f'(1)(x — 1)\).
Подставляем значения:
\(y = e + e(x — 1)\).
Упростим:
\(y = e + ex — e = e^{x}\).
Ответ: \(y = e^{x}\).
2) \(f(x) = e^{5x+2}, \, y = 5x + 7\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = 5 \cdot e^{5x+2}\).
В точке касания \(f'(x) = 5\), то есть:
\(5 \cdot e^{5x+2} = 5\).
Отсюда:
\(e^{5x+2} = 1\).
Возьмем натуральный логарифм:
\(5x + 2 = \ln(1)\).
Так как \(\ln(1) = 0\), то:
\(5x + 2 = 0\), \(5x = -2\), \(x = -0.4\).
Найдем значение функции в точке \(x = -0.4\):
\(f(-0.4) = e^{5(-0.4)+2} = e^{0} = 1\).
Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f(-0.4) + f'(-0.4)(x + 0.4)\).
Подставляем значения:
\(y = 1 + 5(x + 0.4)\).
Упростим:
\(y = 5x + 3\).
Ответ: \(y = 5x + 3\).
3) \(f(x) = e^{-2x}, \, y = -x\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}\).
В точке касания \(f'(x) = -1\), то есть:
\(-2 \cdot e^{-2x} = -1\).
Отсюда:
\(e^{-2x} = \frac{1}{2}\).
Возьмем натуральный логарифм:
\(-2x = \ln\left(\frac{1}{2}\right)\).
Так как \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)\), то:
\(-2x = -\ln(2)\), \(x = \frac{\ln(2)}{2}\).
Найдем значение функции в точке \(x = \frac{\ln(2)}{2}\):
\(f\left(\frac{\ln(2)}{2}\right) = e^{-2 \cdot \frac{\ln(2)}{2}} = e^{-\ln(2)} = \frac{1}{e^{\ln(2)}} = \frac{1}{2}\).
Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f\left(\frac{\ln(2)}{2}\right) + f’\left(\frac{\ln(2)}{2}\right)\left(x — \frac{\ln(2)}{2}\right)\).
Подставляем значения:
\(y = \frac{1}{2} + (-1)\left(x — \frac{\ln(2)}{2}\right)\).
Упростим:
\(y = \frac{1}{2} — x + \frac{\ln(2)}{2}\).
Ответ: \(y = -x + \frac{\ln(2)}{2} + \frac{1}{2}\).
4) \(f(x) = \ln(3x — 2), \, y = 3x — 2\).
Найдем производную функции:
\(f'(x) = \frac{3}{3x — 2}\).
В точке касания \(f'(x) = 3\), то есть:
\(\frac{3}{3x — 2} = 3\).
Отсюда:
\(3x — 2 = 1\), \(3x = 3\), \(x = 1\).
Найдем значение функции в точке \(x = 1\):
\(f(1) = \ln(3 \cdot 1 — 2) = \ln(1) = 0\).
Уравнение касательной имеет вид:
\(y = f(1) + f'(1)(x — 1)\).
Подставляем значения:
\(y = 0 + 3(x — 1)\).
Упростим:
\(y = 3x — 3\).
Ответ: \(y = 3x — 3\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.