ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = e^{6-7x}, \, y = 5 — 7x \);
\( f'(x) = -7 \cdot e^{6-7x} = -7 \), \( e^{6-7x} = 1 \); \( x = 0 \),
\( f(0) = e^{6-6} = 1 \)

\( y = 1 — 7(x — 0) = 1 — 7x + 6 \);
Ответ: \( y = 7 — 7x \).

2) \( f(x) = e^x — e^{-x}, \, y = 2x — 3 \);
\( f'(x) = e^x + e^{-x} = 2 \), \( e^x + e^{-x} = 2 \);

\( e^{2x} + 1 = 2e^x \), \( e^{2x} — 2e^x + 1 = 0 \);
\( (e^x — 1)^2 = 0 \), \( e^x = 1 \), \( x = 0 \);
\( f(0) = e^0 — e^{-0} = 1 — 1 = 0 \);
\( y = 0 + 2(x — 0) = 2x \);
Ответ: \( y = 2x \).

3) \( f(x) = 6x — \ln(x), \, y = x \);
\( f'(x) = 6 — \frac{1}{x} = 1 \), \( x = \frac{5}{6} \);
\( y = 1.2 + \ln(5) + (x — 5) \).
\( y = 1.2 + \ln\left(\frac{5}{6}\right) + (x — \frac{5}{6}) \);
\( y = x + 1 + \ln(5) \).

4) \( f(x) = \ln(1-x), \, y = 1-x \);
\( f'(x) = -\frac{1}{1-x} = -1 \), \( 1-x=1 \); \( x=0 \),
\( f(0) = \ln(1-0) = \ln(1) = 0 \);
\( y = 0 — (x — 0) = -x \);
Ответ: \( y = -x \).

1) Дана функция \( f(x) = e^{6 — 7x} \), уравнение касательной \( y = 5 — 7x \).

Находим производную функции:
\(
f'(x) = -7 \cdot e^{6 — 7x}
\)

Из условия касания \( f'(x) = -7 \), а также \( e^{6 — 7x} = 1 \). Решаем уравнение:
\(
6 — 7x = 0, \quad x = 0
\)

Подставляем \( x = 0 \) в функцию:
\(
f(0) = e^{6 — 6} = e^0 = 1
\)

Уравнение касательной:
\(
y = 1 — 7(x — 0) = 1 — 7x + 6
\)

Приведем к стандартному виду:
\(
y = 7 — 7x
\)

Ответ: \( y = 7 — 7x \).

2) Дана функция \( f(x) = e^x — e^{-x} \), уравнение касательной \( y = 2x — 3 \).

Находим производную функции:
\(
f'(x) = e^x + e^{-x}
\)

Из условия касания \( f'(x) = 2 \). Решаем уравнение:
\(
e^x + e^{-x} = 2
\)

Умножим обе части на \( e^x \):
\(
e^{2x} + 1 = 2e^x
\)

Переносим все в одну часть:
\(
e^{2x} — 2e^x + 1 = 0
\)

Это квадратное уравнение относительно \( e^x \):
\(
(e^x — 1)^2 = 0
\)

Следовательно:
\( e^x = 1 \), \( x = 0 \).

Подставляем \( x = 0 \) в функцию:
\(
f(0) = e^0 — e^{-0} = 1 — 1 = 0
\)

Уравнение касательной:
\(
y = 0 + 2(x — 0) = 2x
\)

Ответ: \( y = 2x \).

3) Дана функция \( f(x) = 6x — \ln(x) \), уравнение касательной \( y = x \).

Находим производную функции:
\(
f'(x) = 6 — \frac{1}{x}
\)

Из условия касания \( f'(x) = 1 \). Решаем уравнение:
\(
6 — \frac{1}{x} = 1
\)

Следовательно:
\(
x = \frac{5}{6}
\)

Подставляем в функцию:
\(
f\left(\frac{5}{6}\right) = 1.2 — \ln\left(\frac{5}{6}\right)
\)

Уравнение касательной:
\(
y = 1.2 + \ln\left(\frac{5}{6}\right) + (x — \frac{5}{6})
\)
Ответ: \( y = x + 1 + \ln(5) \).

4) Дана функция \( f(x) = \ln(1-x) \), уравнение касательной \( y = 1-x \).

Находим производную функции:
\(
f'(x) = -\frac{1}{1-x}
\)

Из условия касания \( f'(x) = -1 \). Решаем уравнение:
\(
-\frac{1}{1-x} = -1
\)

Следовательно:
\( x = 0 \).

Подставляем \( x = 0 \) в функцию:
\(
f(0) = \ln(1-0) = \ln(1) = 0
\)

Уравнение касательной:
\(
y = 0 — (x — 0) = -x
\)

Ответ: \( y = -x \).