ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(f(x) = e^x — x;\)
\(f'(x) = e^x — 1 \geq 0;\)
\(e^x \geq 1, x \geq 0;\)
Ответ: возрастает на \([0; +\infty);\)
убывает на \((- \infty; 0];\)
\(x_{\text{min}} = 0.\)

2) \(f(x) = x e^{2x};\)
\(f'(x) = e^{2x} + 2x e^{2x} \geq 0;\)
\(e^{2x} \cdot (1 + 2x) \geq 0, x \geq -\frac{1}{2};\)
Ответ: возрастает на \([- \frac{1}{2}; +\infty);\)
убывает на \((- \infty; — \frac{1}{2});\)
\(x_{\text{min}} = -\frac{1}{2}.\)

3) \(f(x) = (1 — x)e^{x+1};\)
\(f'(x) = — e^{x+1} + (1 — x)e^{x+1} \geq 0;\)
\(e^{x+1} \cdot (-x) \geq 0, -x \geq 0, x \leq 0;\)
Ответ: возрастает на \((- \infty; 0];\)
убывает на \([0; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = 0.\)

4) \(f(x) = x^2 \cdot 2^{-x};\)
\(f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} — x^2 \cdot 2^{-x} \ln 2 \geq 0;\)
\(2^{-x} \cdot x \cdot (2 — x \ln 2) \geq 0, 2^{-x} > 0;\)
\(x(x \ln 2 — 2) \leq 0, 0 \leq x \leq \frac{2}{\ln 2};\)
Ответ: функция возрастает на \([0; \frac{2}{\ln 2}];\)
убывает на \((- \infty; 0] \cup [\frac{2}{\ln 2}; +\infty);\)
\(x_{\text{min}} = 0, x_{\text{max}} = \frac{2}{\ln 2}.\)

5) \(f(x) = 4x e^{2-x};\)
\(f'(x) = 4e^{2-x} — 4x e^{2-x} \geq 0;\)
\(4e^{2-x} \cdot (1 — x) \geq 0, e^{2-x} > 0;\)
\(1 — x \geq 0, x \leq 1;\)
Ответ: возрастает на \((- \infty; 1];\)
убывает на \([1; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = 1.\)

6) \(f(x) = e^{x^2};\)
\(f'(x) = 2x \cdot e^{x^2} \geq 0, x \geq 0;\)
Ответ: возрастает на \([0; +\infty);\)
убывает на \((- \infty; 0];\)
\(x_{\text{min}} = 0.\)

7) \(f(x) = e^{4x — x^2 + 1};\)
\(f'(x) = (4 — 2x) \cdot e^{4x — x^2 + 1} \geq 0;\)
\(2x \leq 4, x \leq 2;\)
Ответ: возрастает на \((- \infty; 2];\)
убывает на \([2; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = 2.\)

8) \(f(x) = \frac{e^x}{x — 2};\)
\(f'(x) = \frac{e^x (x — 2) — e^x}{(x — 2)^2} \geq 0;\)
\(e^x \cdot (x — 3) \geq 0, x \geq 3, x \neq 2;\)
Ответ: возрастает на \([3; +\infty);\)
убывает на \((- \infty; 2) \cup (2; 3];\)
\(x_{\text{min}} = 3.\)

9) \(f(x) = \frac{4x}{e^x};\)
\(f'(x) = \frac{4e^x — 4x e^x}{e^{2x}} \geq 0;\)
\(4e^x \cdot (1 — x) \geq 0, e^x > 0;\)
\(1 — x \geq 0, x \leq 1;\)
Ответ: возрастает на \((- \infty; 1];\)
убывает на \([1; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = 1.\)

10) \(f(x) = x^3 \ln x;\)
\(f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} \geq 0;\)
\(x^2 \cdot (3 \ln x + 1) \geq 0, x^2 \geq 0;\)
\(x > 0, \ln x \geq -\frac{1}{3}, x \geq e^{-\frac{1}{3}};\)
Ответ: возрастает на \([e^{-\frac{1}{3}}; +\infty);\)
убывает на \((0; e^{-\frac{1}{3}}];\)
\(x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{3}}.\)

11) \(f(x) = \ln x — x;\)
\(f'(x) = \frac{1}{x} — 1 \geq 0;\)
\(\frac{x — 1}{x} \leq 0, 0 < x \leq 1;\)
Ответ: возрастает на \((0; 1];\)
убывает на \([1; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = 1.\)

12) \(f(x) = x^2 \lg x;\)
\(f'(x) = 2x \cdot \lg x + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln 10} \geq 0;\)
\(x \cdot (2 \lg x + \frac{1}{\ln 10}) \geq 0, \lg x^2 + \lg e \geq 0;\)
\(\lg x \geq -\lg e, x \geq e^{-1}, x^2 \geq e^{-2};\)
Ответ: возрастает на \([e^{-\frac{1}{2}}; +\infty);\)
убывает на \((0; e^{-\frac{1}{2}}];\)
\(x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{2}}.\)

13) \(f(x) = \ln x + \frac{1}{x};\)
\(f'(x) = \frac{1}{x} — \frac{1}{x^2} \geq 0;\)
\(x > 0, x — 1 \geq 0, x \geq 1;\)
Ответ: возрастает на \([1; +\infty);\)
убывает на \((0; 1];\)
\(x_{\text{min}} = 1.\)

14) \(f(x) = \frac{x}{\ln x};\)
\(f'(x) = \frac{1 \cdot \ln x — x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} \geq 0;\)
\(\ln x — 1 \geq 0, \ln x \geq 1;\)
\(e > 1, x \geq e, x \neq 1;\)
Ответ: возрастает на \([e; +\infty);\)
убывает на \((0; 1) \cup (1; e];\)
\(x_{\text{min}} = e.\)

15) \(f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}};\)
\(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \geq 0;\)
\(\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \geq 0, 2 — \ln x \geq 0;\)
\(\ln x \leq 2, e > 1, x \leq e^2;\)
Ответ: возрастает на \((0; e^2];\)
убывает на \([e^2; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = e^2.\)

16) \(f(x) = x^2 — \ln x^2;\)
\(f'(x) = 2x — 2x \cdot \frac{1}{x^2} \geq 0;\)
\(\frac{2x — \frac{1}{x}}{x^2} \geq 0;\)
\(\frac{x^2 — 1}{x} \geq 0;\)
\((x + 1)(x — 1) \geq 0, -1 \leq x < 0, x \geq 1;\)
Ответ: возрастает на \([-1; 0) \cup [1; +\infty);\)
убывает на \((-\infty; -1] \cup (0; 1];\)
\(x_{\text{min}} = -1, x_{\text{min}} = 1.\)

17) \(f(x) = 2\ln^3 x — 3\ln^2 x;\)
\(f'(x) = 2 \cdot 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} — 3 \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \geq 0;\)
\(\frac{6}{x}(\ln^2 x — \ln x) \geq 0, \ln x \cdot (\ln x — 1) \geq 0;\)
\(\ln x \leq 0, \ln x \geq 1;\)
\(0 < x \leq 1, x \geq e;\)
Ответ: возрастает на \((0; 1] \cup [e; +\infty);\)
функция убывает на \([1; e];\)
\(x_{\text{max}} = 1, x_{\text{min}} = e.\)

18) \(f(x) = \lg^2 x — \lg x;\)
\(f'(x) = \frac{2\lg x}{x \ln 10} — \frac{1}{x \ln 10} \geq 0;\)
\(x > 0, 2\lg x — 1 \geq 0, 2\lg x \geq 1;\)
\(\lg x \geq \frac{1}{2}, 10 > 1, x \geq \sqrt{10};\)
Ответ: возрастает на \([\sqrt{10}; +\infty);\)
убывает на \((0; \sqrt{10}];\)
\(x_{\text{min}} = \sqrt{10}.\)

1) \(f(x) = e^x — x\)
Находим производную:
\(f'(x) = e^x — 1\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — e^x — 1 \geq 0\).
Решаем неравенство:
\(e^x \geq 1 — x \geq 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([0; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((- \infty; 0]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = 0\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([0; +\infty)\), убывает на \((- \infty; 0]\).
\(x_{\text{min}} = 0\).

—

2) \(f(x) = x e^{2x}\)
Находим производную:
\(f'(x) = e^{2x} + 2x e^{2x}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — e^{2x} \cdot (1 + 2x) \geq 0\).
Так как \(e^{2x} > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(1 + 2x\):
\(1 + 2x \geq 0 — x \geq -\frac{1}{2}\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([- \frac{1}{2}; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((- \infty; — \frac{1}{2})\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = -\frac{1}{2}\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([- \frac{1}{2}; +\infty)\), убывает на \((- \infty; — \frac{1}{2})\).
\(x_{\text{min}} = -\frac{1}{2}\).

—

3) \(f(x) = (1 — x)e^{x+1}\)
Находим производную:
\(f'(x) = — e^{x+1} + (1 — x)e^{x+1} = e^{x+1} \cdot (-x)\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — e^{x+1} \cdot (-x) \geq 0\).
Так как \(e^{x+1} > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(-x\):
\(-x \geq 0 — x \leq 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((- \infty; 0]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([0; +\infty)\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = 0\), так как производная меняет знак с плюса на минус.
Ответ: возрастает на \((- \infty; 0]\), убывает на \([0; +\infty)\).
\(x_{\text{max}} = 0\).

4) \(f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}\)
Находим производную:
\(f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} — x^2 \cdot 2^{-x} \ln 2 = 2^{-x} \cdot x \cdot (2 — x \ln 2)\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — 2^{-x} \cdot x \cdot (2 — x \ln 2) \geq 0\).
Так как \(2^{-x} > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(x \cdot (2 — x \ln 2)\):
1. \(x \geq 0\) (так как \(x\) входит в произведение).
2. \(2 — x \ln 2 \geq 0 — x \leq \frac{2}{\ln 2}\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([0; \frac{2}{\ln 2}]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((- \infty; 0] \cup [\frac{2}{\ln 2}; +\infty)\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = 0\), максимум функции достигается при \(x = \frac{2}{\ln 2}\).
Ответ: возрастает на \([0; \frac{2}{\ln 2}]\), убывает на \((- \infty; 0] \cup [\frac{2}{\ln 2}; +\infty)\).
\(x_{\text{min}} = 0, x_{\text{max}} = \frac{2}{\ln 2}\).

5) \(f(x) = 4x e^{2-x}\)
Находим производную:
\(f'(x) = 4e^{2-x} — 4x e^{2-x} = 4e^{2-x} \cdot (1 — x)\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — 4e^{2-x} \cdot (1 — x) \geq 0\).
Так как \(4e^{2-x} > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(1 — x\):
\(1 — x \geq 0 — x \leq 1\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((- \infty; 1]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([1; +\infty)\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = 1\), так как производная меняет знак с плюса на минус.
Ответ: возрастает на \((- \infty; 1]\), убывает на \([1; +\infty)\).
\(x_{\text{max}} = 1\).

6) \(f(x) = e^{x^2}\)
Находим производную:
\(f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 —  2x \cdot e^{x^2} \geq 0\).
Так как \(e^{x^2} > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(2x\):
\(2x \geq 0 — x \geq 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([0; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((- \infty; 0]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = 0\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([0; +\infty)\), убывает на \((- \infty; 0]\).
\(x_{\text{min}} = 0\).

7) \(f(x) = e^{4x — x^2 + 1}\)
Находим производную:
\(f'(x) = (4 — 2x) \cdot e^{4x — x^2 + 1}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — (4 — 2x) \cdot e^{4x — x^2 + 1} \geq 0\).
Так как \(e^{4x — x^2 + 1} > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(4 — 2x\):
\(4 — 2x \geq 0 — x \leq 2\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((- \infty; 2]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([2; +\infty)\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = 2\), так как производная меняет знак с плюса на минус.
Ответ: возрастает на \((- \infty; 2]\), убывает на \([2; +\infty)\).
\(x_{\text{max}} = 2\).

8) \(f(x) = \frac{e^x}{x — 2}\)
Находим производную:
\(f'(x) = \frac{e^x (x — 2) — e^x}{(x — 2)^2} = \frac{e^x \cdot (x — 3)}{(x — 2)^2}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — e^x \cdot (x — 3) \geq 0\).
Так как \(e^x > 0\) для любого \(x\), остаётся исследовать знак выражения \(x — 3\):
\(x — 3 \geq 0 — x \geq 3\).

Также учитываем область определения функции:
\(x \neq 2\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([3; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((- \infty; 2) \cup (2; 3]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = 3\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([3; +\infty)\), убывает на \((- \infty; 2) \cup (2; 3]\).
\(x_{\text{min}} = 3\).

9) \(f(x) = \frac{4x}{e^x}\)
Находим производную:
\(f'(x) = \frac{4e^x — 4x e^x}{e^{2x}} = \frac{4e^x \cdot (1 — x)}{e^{2x}} = \frac{4 \cdot (1 — x)}{e^x}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — 4 \cdot (1 — x) \geq 0\).
Решаем неравенство:
\(1 — x \geq 0 — x \leq 1\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((- \infty; 1]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([1; +\infty)\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = 1\), так как производная меняет знак с плюса на минус.
Ответ: возрастает на \((- \infty; 1]\), убывает на \([1; +\infty)\).
\(x_{\text{max}} = 1\).

10) \(f(x) = x^3 \ln x\)
Находим производную:
\(f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = x^2 \cdot (3 \ln x + 1)\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — x^2 \cdot (3 \ln x + 1) \geq 0\).
Так как \(x^2 > 0\) для \(x > 0\), остаётся исследовать знак выражения \(3 \ln x + 1\):
\(3 \ln x + 1 \geq 0 — \ln x \geq -\frac{1}{3}\).
Решаем неравенство:
\(\ln x \geq -\frac{1}{3} — x \geq e^{-\frac{1}{3}}\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([e^{-\frac{1}{3}}; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((0; e^{-\frac{1}{3}}]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = e^{-\frac{1}{3}}\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([e^{-\frac{1}{3}}; +\infty)\), убывает на \((0; e^{-\frac{1}{3}}]\).
\(x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{3}}\).

11) \(f(x) = \ln x — x\)
Находим производную:
\(f'(x) = \frac{1}{x} — 1\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{1}{x} — 1 \geq 0\).
Решаем неравенство:
\(\frac{1}{x} \geq 1 — x \leq 1\).

Также учитываем область определения функции:
\(x > 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((0; 1]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([1; +\infty)\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = 1\), так как производная меняет знак с плюса на минус.
Ответ: возрастает на \((0; 1]\), убывает на \([1; +\infty)\).
\(x_{\text{max}} = 1\).

12) \(f(x) = x^2 \lg x\)
Находим производную:
\(f'(x) = 2x \cdot \lg x + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = x \cdot (2 \lg x + \frac{1}{\ln 10})\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — x \cdot (2 \lg x + \frac{1}{\ln 10}) \geq 0\).
Так как \(x > 0\) для области определения функции, остаётся исследовать знак выражения \(2 \lg x + \frac{1}{\ln 10}\):
\(2 \lg x + \frac{1}{\ln 10} \geq 0 — \lg x \geq -\frac{1}{2 \ln 10}\).

Преобразуем неравенство:
\(\lg x \geq -\lg e — x \geq e^{-\frac{1}{2}}\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([e^{-\frac{1}{2}}; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((0; e^{-\frac{1}{2}}]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = e^{-\frac{1}{2}}\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([e^{-\frac{1}{2}}; +\infty)\), убывает на \((0; e^{-\frac{1}{2}}]\).
\(x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{2}}\).

13) \(f(x) = \ln x + \frac{1}{x}\)
Находим производную:
\(f'(x) = \frac{1}{x} — \frac{1}{x^2} = \frac{x — 1}{x^2}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{x — 1}{x^2} \geq 0\).
Рассматриваем числитель:
\(x — 1 \geq 0 — x \geq 1\).

Также учитываем область определения функции:
\(x > 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([1; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((0; 1]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = 1\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([1; +\infty)\), убывает на \((0; 1]\).
\(x_{\text{min}} = 1\).

14) \(f(x) = \frac{x}{\ln x}\)
Находим производную:
\(f'(x) = \frac{1 \cdot \ln x — x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x — 1}{\ln^2 x}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{\ln x — 1}{\ln^2 x} \geq 0\).
Рассматриваем числитель:
\(\ln x — 1 \geq 0 — \ln x \geq 1\).

Преобразуем неравенство:
\(\ln x \geq 1 — x \geq e\).

Также учитываем область определения функции:
\(x > 0, x \neq 1\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([e; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((0; 1) \cup (1; e]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = e\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([e; +\infty)\), убывает на \((0; 1) \cup (1; e]\).
\(x_{\text{min}} = e\).

15) \(f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\)
Находим производную:
\(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 — \ln x}{2x^{3/2}}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{2 — \ln x}{2x^{3/2}} \geq 0\).
Рассматриваем числитель:
\(2 — \ln x \geq 0 — \ln x \leq 2\).

Преобразуем неравенство:
\(\ln x \leq 2 — x \leq e^2\).

Также учитываем область определения функции:
\(x > 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((0; e^2]\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([e^2; +\infty)\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = e^2\), так как производная меняет знак с плюса на минус.
Ответ: возрастает на \((0; e^2]\), убывает на \([e^2; +\infty)\).
\(x_{\text{max}} = e^2\).

16) \(f(x) = x^2 — \ln x^2\)
Находим производную:
\(f'(x) = 2x — 2x \cdot \frac{1}{x^2} = 2x — \frac{2}{x} = \frac{2x^2 — 2}{x}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{2x^2 — 2}{x} \geq 0\).
Рассматриваем числитель:
\(2x^2 — 2 \geq 0 — x^2 \geq 1\).
Решаем неравенство:
\(x \leq -1\) или \(x \geq 1\).

Также учитываем область определения функции:
\(x > 0\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([1; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((0; 1]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = 1\), максимум функции достигается при \(x = -1\) (если учитывать отрицательные значения).
Ответ: возрастает на \([1; +\infty)\), убывает на \((0; 1]\).
\(x_{\text{min}} = 1\).

17) \(f(x) = 2\ln^3 x — 3\ln^2 x\)
Находим производную:
\(f'(x) = 2 \cdot 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} — 3 \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{6 \ln^2 x — 6 \ln x}{x} = \frac{6 \ln x (\ln x — 1)}{x}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{6 \ln x (\ln x — 1)}{x} \geq 0\).
Так как \(x > 0\) для области определения функции, остаётся исследовать знак произведения \(6 \ln x (\ln x — 1)\):
1. \(\ln x \geq 0 — x \geq 1\).
2. \(\ln x — 1 \geq 0 — \ln x \geq 1 — x \geq e\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \((0; 1] \cup [e; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \([1; e]\), значит функция убывает.

Максимум функции достигается при \(x = 1\), минимум функции достигается при \(x = e\).
Ответ: возрастает на \((0; 1] \cup [e; +\infty)\), убывает на \([1; e]\).
\(x_{\text{max}} = 1, x_{\text{min}} = e\).

18) \(f(x) = \lg^2 x — \lg x\)
Находим производную:
\(f'(x) = 2 \lg x \cdot \frac{1}{x \ln 10} — \frac{1}{x \ln 10} = \frac{2 \lg x — 1}{x \ln 10}\).

Исследуем знак производной:
\(f'(x) \geq 0 — \frac{2 \lg x — 1}{x \ln 10} \geq 0\).
Так как \(x > 0\) для области определения функции, остаётся исследовать знак числителя \(2 \lg x — 1\):
\(2 \lg x — 1 \geq 0 — \lg x \geq \frac{1}{2}\).

Преобразуем неравенство:
\(\lg x \geq \frac{1}{2} — x \geq \sqrt{10}\).

Таким образом:
— Производная положительна (\(f'(x) > 0\)) на промежутке \([\sqrt{10}; +\infty)\), значит функция возрастает.
— Производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)) на промежутке \((0; \sqrt{10}]\), значит функция убывает.

Минимум функции достигается при \(x = \sqrt{10}\), так как производная меняет знак с минуса на плюс.
Ответ: возрастает на \([\sqrt{10}; +\infty)\), убывает на \((0; \sqrt{10}]\).
\(x_{\text{min}} = \sqrt{10}\).