ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. \( f(x) = xe^{\frac{x}{2}} \)
\( f'(x) = e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \geq 0; \quad e^{\frac{x}{2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{2}\right) \geq 0, \quad e^{\frac{x}{2}} > 0; \)
\( 2 + x \geq 0, \quad x \geq -2; \)
Ответ:
— возрастает на \((-2; +\infty)\);
— убывает на \((-\infty; -2)\);
— \(x_{\text{min}} = -2\).

2. \( f(x) = e^{x^4 — 2x^2} \)
\( f'(x) = (4x^3 — 2 \cdot 2x) \cdot e^{x^4 — 2x^2} = 0; \quad 4x^3 — 4x \geq 0, \quad 4x(x^2 — 1) \geq 0; \)
\( (x + 1) \cdot x \cdot (x — 1) \geq 0; \quad -1 \leq x \leq 0, \quad x \geq 1; \)
Ответ:
— возрастает на \((-1; 0) \cup (1; +\infty)\);
— убывает на \((-\infty; -1) \cup (0; 1)\);
— \(x_{\text{min}} = -1\), \(x_{\text{min}} = 1\), \(x_{\text{max}} = 0\).

3. \( f(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1} \)
\( f'(x) = (-3x^2 + 3) \cdot 5^{-x^3 + 3x + 1} \ln 5 \geq 0; \quad \ln 5 > 0, \quad 3 — 3x^2 \geq 0, \)
\(\quad x^2 — 1 \leq 0; \)
\( (x)(x — 1)(x + 1) \leq 0, \quad -1 \leq x \leq 1; \)
Ответ:
— возрастает на \((-1; 1)\);
— убывает на \((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\);
— \(x_{\text{min}} = -1\), \(x_{\text{max}} = 1\).

4) \( f(x) = (4x — 1)e^{2x} \)
\( f'(x) = 4e^{2x} + (4x — 1) \cdot 2e^{2x} \geq 0; \quad 2e^{2x} \cdot (2 + 4x — 1) \geq 0, \quad e^{2x} > 0; \)
\( 4x + 1 \geq 0, \quad 4x \geq -1, \quad x \geq -\frac{1}{4}; \)
Ответ:
— возрастает на \((-\frac{1}{4}; +\infty)\);
— убывает на \((-\infty; -\frac{1}{4})\);
— \(x_{\text{min}} = -\frac{1}{4}\).

5) \( f(x) = x^3 \cdot 3^{-x} \)
\( f'(x) = 3x^2 \cdot 3^{-x} — x^3 \cdot 3^{-x} \cdot \ln 3 \geq 0; \quad x^2 \cdot 3^{-x} \cdot (3 — x \ln 3) \geq 0, \)
\(\quad x^2 \cdot 3^{-x} \geq 0; \)
\( x \ln 3 — 3 \leq 0, \quad x \ln 3 \leq 3, \quad x \leq \frac{3}{\ln 3}; \)
Ответ:
— возрастает на \((-\infty; \frac{3}{\ln 3})\);
— убывает на \((\frac{3}{\ln 3}; +\infty)\);
— \(x_{\text{max}} = \frac{3}{\ln 3}\).

6) \( f(x) = \frac{x + 3}{e^x} \)
\( f'(x) = \frac{e^x — (x + 3) \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0; \quad e^x \cdot (1 — x — 3) \geq 0, \quad e^x > 0; \)
\( x + 2 \leq 0, \quad x \leq -2; \)
Ответ:
— возрастает на \((-\infty; -2)\);
— убывает на \((-2; +\infty)\);
— \(x_{\text{max}} = -2\).

7) \( f(x) = 0,5x^2 — \ln x \)
\( f'(x) = 0,5 \cdot 2 \cdot x — \frac{1}{x} \geq 0; \quad x — \frac{1}{x} \geq 0, \quad x > 0, \quad x^2 — 1 \geq 0; \)
\( x^2 \geq 1, \quad x \leq -1, \quad x \geq 1; \)
Ответ:
— возрастает на \([1; +\infty)\);
— убывает на \((0; 1]\);
— \(x_{\text{min}} = 1\).

8) \( f(x) = x \ln^2 x \)
\( f'(x) = \ln^2 x + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \geq 0; \quad x \ln^2 x + 2 \ln x \geq 0,\)
\(\quad \ln x \cdot (\ln x + 2) \geq 0; \)
\( \ln x \leq -2, \quad \ln x \geq 0; \quad 0 < x \leq \frac{1}{e^2}, \quad x \geq 1; \)
Ответ:
— возрастает на \((0; \frac{1}{e^2}] \cup [1; +\infty)\);
— функция убывает на \([\frac{1}{e^2}; 1]\);
— \(x_{\text{max}} = \frac{1}{e^2}\), \(x_{\text{min}} = 1\).

9) \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \)
\( f'(x) = \frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot \frac{1}{x^2} \geq 0; \quad x > 0, \quad 1 — \ln x \geq 0, \quad \ln x \leq 1; \)
\(\quad 0 < x \leq e; \)
Ответ:
— возрастает на \((0; e]\);
— убывает на \([e; +\infty)\);
— \(x_{\text{max}} = e\).

10) \( f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x} \)
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2} — \frac{2}{x^2} \geq 0; \quad x > 0, \quad 2x — 2 \geq 0; \quad x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1, \quad x \neq 0; \)
Ответ:
— возрастает на \([1; +\infty)\);
— убывает на \((-\infty; 0) \cup (0; 1]\);
— \(x_{\text{min}} = 1\).

11) \( f(x) = \ln^3 x — 12 \ln x \)
\( f'(x) = 3 \ln^2 x — 12 \cdot \frac{1}{x} \geq 0; \quad 3 \ln^2 x — 12 \geq 0, \quad \ln^2 x — 4 \geq 0;\)
\(\quad (\ln x + 2) \cdot (\ln x — 2) \geq 0; \)
\( \ln x \leq -2, \quad \ln x \geq 2; \quad 0 < x \leq \frac{1}{e^2}, \quad x \geq e^2; \)
Ответ:
— возрастает на \((0; \frac{1}{e^2}] \cup [e^2; +\infty)\);
— функция убывает на \([\frac{1}{e^2}; e^2]\);
— \(x_{\text{max}} = \frac{1}{e^2}\), \(x_{\text{min}} = e^2\).

12) \( f(x) = \lg^4 x — 2 \lg^2 x \)
\( f'(x) = \frac{4 \lg^3 x}{x} — \frac{2 \cdot 2 \lg x}{x} \geq 0; \quad x > 0, \quad 4 \lg^3 x — 4 \lg x \geq 0; \)
\(\quad 4 \lg x \cdot (\lg x + 1)(\lg x — 1) \geq 0; \)
\( -1 \leq \lg x \leq 0, \quad \lg x \geq 1; \quad 0 < x \leq 0,1, \quad x \geq 10; \)
Ответ:
— возрастает на \([0,1; 1] \cup [10; +\infty)\);
— убывает на \((0; 0,1] \cup [1; 10]\);
— \(x_{\text{min}} = 0,1\), \(x_{\text{min}} = 10\), \(x_{\text{max}} = 1\).

1. \( f(x) = xe^{\frac{x}{2}} \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( xe^{\frac{x}{2}} \right) = e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}
\)
Производная состоит из двух частей: \( e^{\frac{x}{2}} \) и \( x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \).

2. Упростим выражение:
\(
f'(x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot (1 + \frac{x}{2})
\)
Здесь \( e^{\frac{x}{2}} > 0 \) для всех \( x \), поэтому знак производной определяется выражением \( 1 + \frac{x}{2} \).

3. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
1 + \frac{x}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\)

4. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x > -2 \): \( 1 + \frac{x}{2} > 0 \), значит \( f'(x) > 0 \), функция возрастает.
— При \( x < -2 \): \( 1 + \frac{x}{2} < 0 \), значит \( f'(x) < 0 \), функция убывает.

Ответ:
— возрастает на \( (-2; +\infty) \);
— убывает на \( (-\infty; -2) \);
— точка минимума: \( x_{\text{min}} = -2 \).

2. \( f(x) = e^{x^4 — 2x^2} \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^4 — 2x^2} \right) = (4x^3 — 4x) \cdot e^{x^4 — 2x^2}
\)
Здесь \( e^{x^4 — 2x^2} > 0 \) для всех \( x \), поэтому знак производной определяется выражением \( 4x^3 — 4x \).

2. Вынесем общий множитель:
\(
4x^3 — 4x = 4x(x^2 — 1) = 4x(x — 1)(x + 1)
\)

3. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
4x(x — 1)(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \, x = 0, \, x = 1
\)

4. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in (-\infty; -1) \): \( 4x(x — 1)(x + 1) < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (-1; 0) \): \( 4x(x — 1)(x + 1) > 0 \), функция возрастает.
— При \( x \in (0; 1) \): \( 4x(x — 1)(x + 1) < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (1; +\infty) \): \( 4x(x — 1)(x + 1) > 0 \), функция возрастает.

Ответ:
— возрастает на \( (-1; 0) \cup (1; +\infty) \);
— убывает на \( (-\infty; -1) \cup (0; 1) \);
— точки минимума: \( x_{\text{min}} = -1, \, x_{\text{min}} = 1 \);
— точка максимума: \( x_{\text{max}} = 0 \).

3. \( f(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1} \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5^{-x^3 + 3x + 1} \right) = (-3x^2 + 3) \cdot 5^{-x^3 + 3x + 1} \ln 5
\)
Здесь \( 5^{-x^3 + 3x + 1} > 0 \) и \( \ln 5 > 0 \), поэтому знак производной определяется выражением \( -3x^2 + 3 \).

2. Упростим выражение:
\(
-3x^2 + 3 = 3(1 — x^2) = 3(1 — x)(1 + x)
\)

3. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
3(1 — x)(1 + x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \, x = 1
\)

4. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in (-\infty; -1) \): \( 3(1 — x)(1 + x) < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (-1; 1) \): \( 3(1 — x)(1 + x) > 0 \), функция возрастает.
— При \( x \in (1; +\infty) \): \( 3(1 — x)(1 + x) < 0 \), функция убывает.

Ответ:
— возрастает на \( (-1; 1) \);
— убывает на \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \);
— точка минимума: \( x_{\text{min}} = -1 \);
— точка максимума: \( x_{\text{max}} = 1 \).

4. \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
\frac{2x}{x^2 + 1} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\)

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x > 0 \): \( \frac{2x}{x^2 + 1} > 0 \), функция возрастает.
— При \( x < 0 \): \( \frac{2x}{x^2 + 1} < 0 \), функция убывает.

Ответ:
— возрастает на \( (0; +\infty) \);
— убывает на \( (-\infty; 0) \);
— точка минимума: \( x_{\text{min}} = 0 \).

5. \( f(x) = \sqrt{1 — x^2} \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1 — x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1 — x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}}
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
\frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\)

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in (0; 1) \): \( \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}} < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (-1; 0) \): \( \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}} > 0 \), функция возрастает.

Ответ:
— возрастает на \( (-1; 0) \);
— убывает на \( (0; 1) \);
— точка максимума: \( x_{\text{max}} = 0 \).

6. \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin(x) + \cos(x) \right) = \cos(x) — \sin(x)
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
\cos(x) — \sin(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \tan(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \, n \in \mathbb{Z}
\)

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in \left( \frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi \right) \): \( \cos(x) — \sin(x) < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in \left( \frac{5\pi}{4} + 2n\pi; \frac{\pi}{4} + 2(n+1)\pi \right) \): \( \cos(x) — \sin(x) > 0 \), функция возрастает.

Ответ:
— возрастает на \( \left( \frac{5\pi}{4} + 2n\pi; \frac{\pi}{4} + 2(n+1)\pi \right), \, n \in \mathbb{Z} \);
— убывает на \( \left( \frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi \right), \, n \in \mathbb{Z} \).

7. \( f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x + 5 \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 — 3x^2 — 9x + 5 \right) = 3x^2 — 6x — 9
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
3x^2 — 6x — 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 3 = 0
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 — 2x — 3 = (x — 3)(x + 1) \quad \Rightarrow \quad x = 3, \, x = -1
\)

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in (-\infty; -1) \): \( 3x^2 — 6x — 9 > 0 \), функция возрастает.
— При \( x \in (-1; 3) \): \( 3x^2 — 6x — 9 < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (3; +\infty) \): \( 3x^2 — 6x — 9 > 0 \), функция возрастает.

Ответ:
— возрастает на \( (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \);
— убывает на \( (-1; 3) \);
— точки минимума: \( x_{\text{min}} = 3 \);
— точка максимума: \( x_{\text{max}} = -1 \).

8. \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \)

1. Найдём производную функции:
Используем правило производной частного:
\(
f'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 — 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
\frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1
\)

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in (-\infty; -1) \): \( 1 — x^2 < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (-1; 1) \): \( 1 — x^2 > 0 \), функция возрастает.
— При \( x \in (1; +\infty) \): \( 1 — x^2 < 0 \), функция убывает.

Ответ:
— возрастает на \( (-1; 1) \);
— убывает на \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \);
— точки минимума: \( x_{\text{min}} = -1, \, x_{\text{min}} = 1 \).

9. \( f(x) = \arctan(x) \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \arctan(x) \right) = \frac{1}{1 + x^2}
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
Производная \( \frac{1}{1 + x^2} \) никогда не равна нулю, так как \( 1 + x^2 > 0 \) для всех \( x \).

3. Определим знак производной:
Производная \( \frac{1}{1 + x^2} > 0 \) всегда, поэтому функция возрастает на всей области определения.

Ответ:
— возрастает на \( (-\infty; +\infty) \);
— экстремумов нет.

10. \( f(x) = \ln|x| \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln|x| \right) = \frac{1}{x}
\)

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
Производная \( \frac{1}{x} \) никогда не равна нулю, так как \( x \neq 0 \) (область определения функции: \( x \neq 0 \)).

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x > 0 \): \( \frac{1}{x} > 0 \), функция возрастает.
— При \( x < 0 \): \( \frac{1}{x} < 0 \), функция убывает.

Ответ:
— возрастает на \( (0; +\infty) \);
— убывает на \( (-\infty; 0) \);
— экстремумов нет.

11. \( f(x) = e^{-x^2} \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x^2} \right) = -2x \cdot e^{-x^2}
\)
Здесь \( e^{-x^2} > 0 \) для всех \( x \), поэтому знак производной определяется выражением \( -2x \).

2. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
-2x \cdot e^{-x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\)

3. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x > 0 \): \( -2x < 0 \), функция убывает.
— При \( x < 0 \): \( -2x > 0 \), функция возрастает.

Ответ:
— возрастает на \( (-\infty; 0) \);
— убывает на \( (0; +\infty) \);
— точка максимума: \( x_{\text{max}} = 0 \).

12. \( f(x) = x^4 — 4x^2 \)

1. Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^4 — 4x^2 \right) = 4x^3 — 8x
\)

2. Вынесем общий множитель:
\(
f'(x) = 4x(x^2 — 2) = 4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2})
\)

3. Найдём точки, где производная равна нулю:
\(
4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \, x = \sqrt{2}, \, x = -\sqrt{2}
\)

4. Определим знак производной в интервалах:
— При \( x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \): \( 4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (-\sqrt{2}; 0) \): \( 4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0 \), функция возрастает.
— При \( x \in (0; \sqrt{2}) \): \( 4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) < 0 \), функция убывает.
— При \( x \in (\sqrt{2}; +\infty) \): \( 4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0 \), функция возрастает.

Ответ:
— возрастает на \( (-\sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \);
— убывает на \( (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (0; \sqrt{2}) \);
— точки минимума: \( x_{\text{min}} = -\sqrt{2}, \, x_{\text{min}} = \sqrt{2} \);
— точка максимума: \( x_{\text{max}} = 0 \).