ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = e^x + x, \, [-1; 1] \);
\( f'(x) = e^x + 1 \geq 0, \, x \in \mathbb{R} \);

Значения функции:
\( f(-1) = e^{-1} — 1 = \frac{1}{e} — 1 \);
\( f(1) = e^1 + 1 = e + 1 \);

Ответ: \( e + 1; \, \frac{1}{e} — 1 \).

2) \( f(x) = x^2 e^{2x}, \, [-2; 1] \);
\( f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x} \geq 0 \);
\( 2e^{2x} \cdot x \cdot (1 + x) \geq 0, \, 2e^{2x} > 0 \);
\( (x + 1)x \geq 0, \, x \leq -1, \, x \geq 0 \);

Значения функции:
\( f(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-4} = \frac{4}{e^4} \);
\( f(0) = 0^2 \cdot e^{2 \cdot 0} = 0 \cdot 1 = 0 \);
\( f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2} \);
\( f(1) = 1^2 \cdot e^2 = e^2 \);

Ответ: \( e^2; \, 0 \).

3) \( f(x) = 7^{x^2 — 2x}, \, [0; 2] \)
\( f'(x) = (2x — 2) \cdot 7^{x^2 — 2x} \cdot \ln 7 \geq 0 \);
\( 2x — 2 \geq 0, \, x — 1 \geq 0, \, x \geq 1 \);

Значения функции:
\( f(0) = 7^{0^2 — 2 \cdot 0} = 7^0 = 1 \);
\( f(1) = 7^{1^2 — 2 \cdot 1} = 7^{-1} = \frac{1}{7} \);
\( f(2) = 7^{2^2 — 2 \cdot 2} = 7^0 = 1 \);

Ответ:\( 1; \, \frac{1}{7} \).

4) \( f(x) = 2^x + 2^{-x}, \, [-1; 1] \)
\( f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 — 2^{-x} \cdot \ln 2 \geq 0 \);
\( \ln 2 \cdot (2^x — 2^{-x}) \geq 0, \, 2^x — 1 \geq 0 \);
\( 2^{2x} \geq 1, \, 2^x \geq 1, \, x \geq 0 \);

Значения функции:
\( f(-1) = 2^{-1} + 2^1 = 0.5 + 2 = 2.5 \);
\( f(0) = 2^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2 \);
\( f(1) = 2^1 + 2^{-1} = 2 + 0.5 = 2.5 \);

Ответ: \( 2.5; \, 2 \).

1) \(f(x) = e^x + x, \, [-1; 1]\)
Найдем производную функции:
\(f'(x) = e^x + 1\).

Так как \(e^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), то \(f'(x) = e^x + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\). Следовательно, функция возрастает на всём промежутке \([-1; 1]\).

Значения функции на концах промежутка:
\(f(-1) = e^{-1} — 1 = \frac{1}{e} — 1\),
\(f(1) = e^1 + 1 = e + 1\).

Ответ: \((e + 1; \, \frac{1}{e} — 1)\).

2) \(f(x) = x^2 e^{2x}, \, [-2; 1]\)
Найдем производную функции:
\(f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x} = e^{2x} \cdot (2x + 2x^2)\).

Вынесем общий множитель:
\(f'(x) = 2e^{2x} \cdot x \cdot (1 + x)\).

Так как \(2e^{2x} > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), знак производной определяется выражением \(x \cdot (1 + x)\).
Рассмотрим \(x \cdot (1 + x) \geq 0\):
1) \(x \leq -1\),
2) \(x \geq 0\).

Таким образом, функция возрастает на промежутках \([-2; -1]\) и \([0; 1]\), а убывает на промежутке \([-1; 0]\).

Значения функции:
\(f(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-4} = \frac{4}{e^4}\),
\(f(0) = 0^2 \cdot e^{2 \cdot 0} = 0 \cdot 1 = 0\),
\(f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2}\),
\(f(1) = 1^2 \cdot e^2 = e^2\).

Ответ: \((e^2; \, 0)\).

3) \(f(x) = 7^{x^2 — 2x}, \, [0; 2]\)
Найдем производную функции:
\(f'(x) = (2x — 2) \cdot 7^{x^2 — 2x} \cdot \ln 7\).

Так как \(7^{x^2 — 2x} > 0\) и \(\ln 7 > 0\), знак производной определяется выражением \(2x — 2\):
\(2x — 2 \geq 0 — x \geq 1\).

Таким образом, функция убывает на промежутке \([0; 1]\) и возрастает на промежутке \([1; 2]\).

Значения функции:
\(f(0) = 7^{0^2 — 2 \cdot 0} = 7^0 = 1\),
\(f(1) = 7^{1^2 — 2 \cdot 1} = 7^{-1} = \frac{1}{7}\),
\(f(2) = 7^{2^2 — 2 \cdot 2} = 7^0 = 1\).

Ответ: \((1; \, \frac{1}{7})\).

4) \(f(x) = 2^x + 2^{-x}, \, [-1; 1]\)
Найдем производную функции:
\(f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 — 2^{-x} \cdot \ln 2 = \ln 2 \cdot (2^x — 2^{-x})\).

Так как \(\ln 2 > 0\), знак производной определяется выражением \(2^x — 2^{-x}\):
\(2^x — 2^{-x} \geq 0 — 2^x \geq 1 — x \geq 0\).

Таким образом, функция убывает на промежутке \([-1; 0]\) и возрастает на промежутке \([0; 1]\).

Значения функции:
\(f(-1) = 2^{-1} + 2^1 = 0.5 + 2 = 2.5\),
\(f(0) = 2^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2\),
\(f(1) = 2^1 + 2^{-1} = 2 + 0.5 = 2.5\).

Ответ: \((2.5; \, 2)\).