ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( y = x^\pi; \quad y’ = \pi x^{\pi — 1}; \)

2) \( y = e^{-2x}; \quad y’ = -2e^{-2x}; \)

3) \( y = x^6 e^x; \)
\( y’ = 6x^5 e^x + x^6 e^x; \quad y’ = x^5 e^x (6 + x); \)

4) \( y = e^x \cos x; \quad y’ = e^x \cos x — e^x \sin x; \quad y’ = e^x (\cos x — \sin x); \)

5) \( y = \frac{x + 1}{e^x}; \)
\( y’ = \frac{e^x — (x + 1)e^x}{(e^x)^2}; \)
\( y’ = \frac{-x e^x}{e^{2x}}. \)

6) \( y = 6^x; \quad y’ = 6^x \ln 6; \)

7) \( y = 3^{4x+1}; \quad y’ = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3; \)

8) \( y = (2x+1)^{\sqrt{10}}; \quad y’ = 2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}; \)

9) \( y = 10^{-x}; \quad y’ = -10^{-x} \ln 10; \)

10) \( y = \frac{5^x + 2}{5^x — 1}; \)
\( y’ = \frac{5^x \ln 5 (5^x — 1) — 5^x \ln 5 (5^x + 2)}{(5^x — 1)^2}; \)
\( y’ = \frac{5^x \ln 5 \cdot (-3)}{(5^x — 1)^2}; \)

11) \( y = 0,7\cot x; \quad y’ = 0,7\cot x — \frac{\ln 0,7}{\sin^2 x}; \)

1) \( y = x^\pi \)
\( y’ = \pi x^{\pi — 1} \)
Здесь используется правило взятия производной степенной функции \( y = x^n \), где \( n \) — константа.

2) \( y = e^{-2x} \)
\( y’ = -2e^{-2x} \)
Производная экспоненты \( e^{f(x)} \) равна \( f'(x)e^{f(x)} \).

3) \( y = x^6 e^x \)
\( y’ = 6x^5 e^x + x^6 e^x \)
\( y’ = x^5 e^x (6 + x) \)
Используется правило произведения функций: \( (fg)’ = f’g + fg’ \).

4) \( y = e^x \cos x \)
\( y’ = e^x \cos x — e^x \sin x \)
\( y’ = e^x (\cos x — \sin x) \)
Применяется правило произведения функций, где одна из них — экспонента, а другая — тригонометрическая функция.

5) \( y = \frac{x + 1}{e^x} \)
\( y’ = \frac{e^x — (x + 1)e^x}{(e^x)^2} \)
\( y’ = \frac{-x e^x}{e^{2x}} \)
Используется правило производной частного:
\( \left( \frac{f}{g} \right)’ = \frac{f’g — fg’}{g^2} \).

6) \( y = 6^x \)
\( y’ = 6^x \ln 6 \)
Производная показательной функции \( a^x \), где \( a > 0 \), равна \( a^x \ln a \).

7) \( y = 3^{4x+1} \)
\( y’ = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3 \)
Применяется производная показательной функции \( a^{f(x)} \), где результат равен \( f'(x)a^{f(x)}\ln a \).

8) \( y = (2x+1)^{\sqrt{10}} \)
\( y’ = 2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1} \)
Используется правило производной степенной функции \( (f(x))^n \), где результат равен \( n f'(x) (f(x))^{n-1} \).

9) \( y = 10^{-x} \)
\( y’ = -10^{-x} \ln 10 \)
Применяется производная показательной функции с отрицательной степенью.

10) \( y = \frac{5^x + 2}{5^x — 1} \)
\( y’ = \frac{5^x \ln 5 (5^x — 1) — 5^x \ln 5 (5^x + 2)}{(5^x — 1)^2} \)
\( y’ = \frac{5^x \ln 5 (-3)}{(5^x — 1)^2} \)
Используется правило производной частного.

11) \( y = 0,7\cot x \)
\( y’ = 0,7\cot x — \frac{\ln 0,7}{\sin^2 x} \)
Применяется производная логарифмической функции вместе с производной тригонометрической функции.