ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Наибольшее и наименьшее значения данной функции:

1) \( f(x) = (x — 1)e^{-x}, \, [1; 3] \);
\( f'(x) = e^{-x} — (x — 1)e^{-x} \);
\( e^{-x}(1 — x + 1) > 0 \);
\( 2 — x > 0, \, x < 2 \);

Значения функции:
\( f(1) = (1 — 1)e^{-1} = 0 \);
\( f(2) = (2 — 1)e^{-2} = \frac{1}{e^2} \);
\( f(3) = (3 — 1)e^{-3} = \frac{2}{e^3} \);

Ответ: наибольшее \( \frac{1}{e^2} \), наименьшее \( 0 \).

2) \( f(x) = 5^{2 + 2x}, \, [-2; 1] \);
\( f'(x) = (2x + 2)5^{x^2 + 2x} \ln(5) \);
\( 2x + 2 > 0, \, x > -1 \);

Значения функции:
\( f(-2) = 5^{(-2)^2 + 2(-2)} = 5^0 = 1 \);
\( f(-1) = 5^{(-1)^2 + 2(-1)} = 5^{-1} \);
\( f(1) = 5^{(1)^2 + 2(1)} = 5^3 = 125 \);

Ответ: наибольшее \( 125 \), наименьшее \( 5^{-1} \).

Наибольшее и наименьшее значения данной функции:

1) Дана функция \( f(x) = (x — 1)e^{-x} \) на отрезке (1; 3).
Найдем производную:
\( f'(x) = e^{-x} — (x — 1)e^{-x} \).

Вынесем общий множитель \( e^{-x} \):
\( f'(x) = e^{-x}(1 — x + 1) \).

Упростим выражение:
\( f'(x) = e^{-x}(2 — x) \).

Так как \( e^{-x} > 0 \) для всех \( x \), знак производной определяется выражением \( 2 — x \).
Решим неравенство:
\( 2 — x > 0 — x < 2 \).

Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке \( x = 2 \):
\( f(1) = (1 — 1)e^{-1} = 0 \),
\( f(2) = (2 — 1)e^{-2} = \frac{1}{e^2} \),
\( f(3) = (3 — 1)e^{-3} = \frac{2}{e^3} \).

Ответ: наибольшее значение \( \frac{1}{e^2} \), наименьшее значение \( 0 \).

2) Дана функция \( f(x) = 5^{2 + 2x} \) на отрезке (-2; 1).
Найдем производную:
\( f'(x) = (2x + 2)5^{(x^2 + 2x)} \ln(5) \).

Производная равна нулю, если \( 2x + 2 = 0 \):
\( 2x + 2 = 0 — x = -1 \).

Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке \( x = -1 \):
\( f(-2) = 5^{(-2)^2 + 2(-2)} = 5^{(4 — 4)} = 5^0 = 1 \),
\( f(-1) = 5^{(-1)^2 + 2(-1)} = 5^{(1 — 2)} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \),
\( f(1) = 5^{(1)^2 + 2(1)} = 5^{(1 + 2)} = 5^3 = 125 \).

Ответ: наибольшее значение \( 125 \), наименьшее значение \( \frac{1}{5} \).