ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = x \cdot e^x \); \( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
\( f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \geq 0 \); \( e^x \cdot (1 + x) \geq 0 \), \( x \geq -1 \);
\( x_{\text{min}} = -1 \), \( y_{\text{min}} = -\frac{1}{e} \);
Возрастает на \( [-1; +\infty) \);
Убывает на \( (-\infty; -1] \);
\(\lim_{x \to -\infty} (x \cdot e^x) = 0\);
\( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \);
\( f(1) = 1 \cdot e^1 = e \);
\( E(y) = \left[ -\frac{1}{e}; +\infty \right) \).
График данной функции

2) \( f(x) = x \cdot e^{-x^2} \); \( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
\( f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} — x \cdot 2x \cdot e^{-x^2} \);
\( f'(x) = e^{-x^2} (1 — 2x^2) \);
\( 1 — 2x^2 = 0 \), \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \);
\( x_{\text{max}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \), \( y_{\text{max}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \);

Возрастает на \( (-\infty; \sqrt{\frac{1}{2}}] \);
Убывает на \( [\sqrt{\frac{1}{2}}; +\infty) \);

\(\lim_{x \to +\infty} (x \cdot e^{-x^2}) = 0\);
\( f(0) = 0 \cdot e^{0} = 0 \);
\( f(-\sqrt{\frac{1}{2}}) = -\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \);

\( E(y) = (-\infty; +\infty) \).

График данной функции:

3) \( f(x) = e^{-x^2} \); \( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
\( f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \);
\( f'(x) \geq 0 \), \( x \leq 0 \);
\( x_{\text{max}} = 0 \), \( y_{\text{max}} = e^{0^2} = 1 \);

Возрастает на \( (-\infty; 0] \);
Убывает на \( [0; +\infty) \);

\(\lim_{x \to \pm\infty} (e^{-x^2}) = 0\);
\( f(-x) = e^{-x^2} = f(x) \) (функция чётная);
\( f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} \);
\( f(2) = e^{-2^2} = e^{-4} \);

\( E(y) = (0; 1] \).

График данной функции:

4) \( f(x) = x^2 — 2 \ln x \); \( D(x) = (0; +\infty) \);
reshak.ru
\( f'(x) = 2x — \frac{2}{x} \);
\( f'(x) \geq 0 \), \( x > 0 \), \( x^2 — 1 \geq 0 \), \( x^2 \geq 1 \);
\( x_{\text{min}} = 1 \), \( y_{\text{min}} = 1 — 2 \ln 1 = 1 \);

Возрастает на \( [1; +\infty) \);
Убывает на \( (0; 1] \);

\( f(e) = e^2 — 2 \ln e = e^2 — 2 \);
\( f(e^2) = e^4 — 2 \ln e^2 = e^4 — 4 \);

\( E(y) = [1; +\infty) \).
График данной функции:

5) \( f(x) = \ln(9 — x^2) \);
Условие: \( 9 — x^2 > 0 \), \( x^2 < 9 \), \( -3 < x < 3 \);
\( D(x) = (-3; 3) \);

\( f'(x) = \frac{-2x}{9 — x^2} \);
\( f'(x) \geq 0 \), \(-2x \geq 0\);
\( x \leq 0 \);

\( x_{\text{max}} = 0 \), \( y_{\text{max}} = \ln 9 \);

Возрастает на \( (-3; 0] \);
Убывает на \( [0; 3) \);

\( f(1) = \ln(9 — 1^2) = \ln 8 \);
\( f(2) = \ln(9 — 2^2) = \ln 5 \);

\( E(y) = (-\infty; \ln 9] \).

График данной функции:

1) Функция \( f(x) = x \cdot e^x \)

Область определения: данная функция определена для всех \( x \), поэтому область определения \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Производная: находим производную функции
\(
f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x).
\)
Производная равна нулю, когда \( 1 + x = 0 \), что дает \( x = -1 \).

Знак производной: так как \( e^x > 0 \) для всех \( x \), знак производной определяется знаком выражения \( 1 + x \). Это неравенство выполняется при \( x \geq -1 \). Таким образом, функция возрастает на интервале \( [-1; +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty; -1] \).

Критическая точка: в точке \( x = -1 \) находим значение функции
\(
y_{\text{min}} = f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}.
\)

Пределы: при \( x \to -\infty \) функция стремится к нулю
\(
\lim_{x \to -\infty} (x \cdot e^x) = 0.
\)
Значения функции в некоторых точках:
\(
f(0) = 0 \cdot e^0 = 0,
\)
\(
f(1) = 1 \cdot e^1 = e.
\)

Область значений: область значений \( E(y) = \left[-\frac{1}{e}; +\infty\right) \).

2) Функция \( f(x) = x \cdot e^{-x^2} \)

Область определения: эта функция также определена для всех \( x \), поэтому область определения \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Производная: находим производную функции
\(
f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} — x \cdot 2x \cdot e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 — 2x^2).
\)
Производная равна нулю, если \( 1 — 2x^2 = 0 \), что дает \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \).

Знак производной: функция возрастает на интервале \( (-\infty; \sqrt{\frac{1}{2}}] \) и убывает на интервале \( [\sqrt{\frac{1}{2}}; +\infty) \).

Критическая точка: находим максимальное значение функции в точке \( x = \sqrt{\frac{1}{2}} \)
\(
y_{\text{max}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}}.
\)

Пределы: при \( x \to +\infty \) функция стремится к нулю
\(
\lim_{x \to +\infty} (x \cdot e^{-x^2}) = 0.
\)
Значения функции в некоторых точках:
\(
f(0) = 0 \cdot e^{0} = 0,
\)
\(
f(-\sqrt{\frac{1}{2}}) = -\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}}.
\)

Область значений: область значений \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).

3) Функция \( f(x) = e^{-x^2} \)

Область определения: эта функция также определена для всех \( x \), следовательно, область определения \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Производная: находим производную функции
\(
f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}.
\)
Производная равна нулю, когда \( x = 0 \).

Знак производной: функция возрастает на интервале \( (-\infty; 0] \) и убывает на интервале \( [0; +\infty) \).

Критическая точка: максимальное значение функции достигается в точке \( x = 0 \)
\(
y_{\text{max}} = e^{0} = 1.
\)

Пределы: при \( x \to \pm\infty \) функция стремится к нулю
\(
\lim_{x \to \pm\infty} (e^{-x^2}) = 0.
\)
Значения функции в некоторых точках:
\(
f(1) = e^{-1^2} = e^{-1},
\)
\(
f(2) = e^{-2^2} = e^{-4}.
\)

Область значений: область значений \( E(y) = (0; 1] \).

4) Функция \( f(x) = x^2 — 2 \ln x \)

Область определения: эта функция определена для \( x > 0 \), поэтому область определения \( D(x) = (0; +\infty) \).

Производная: находим производную функции
\(
f'(x) = 2x — \frac{2}{x}.
\)
Производная равна нулю, когда \( 2x — \frac{2}{x} = 0 \), что приводит к \( x^2 — 1 = 0 \) и \( x = 1 \).

Знак производной: функция убывает на интервале \( (0; 1] \) и возрастает на интервале \( [1; +\infty) \).

Критическая точка: минимальное значение функции достигается в точке \( x = 1 \)
\(
y_{\text{min}} = f(1) = 1 — 2 \ln 1 = 1.
\)

Значения функции: значения функции в некоторых точках
\(
f(e) = e^2 — 2 \ln e = e^2 — 2,
\)
\(
f(e^2) = e^4 — 2 \ln e^2 = e^4 — 4.
\)

Область значений: область значений \( E(y) = [1; +\infty) \).

5) Функция \( f(x) = \ln(9 — x^2) \)

Область определения: условие для функции: \( 9 — x^2 > 0 \) или \( -3 < x < 3 \). Следовательно, область определения \( D(x) = (-3; 3) \).

Производная: находим производную функции
\(
f'(x) = \frac{-2x}{9 — x^2}.
\)
Производная равна нулю, когда \( -2x = 0 \), что дает \( x = 0 \).

Знак производной: функция возрастает на интервале \( (-3; 0] \) и убывает на интервале \( [0; 3) \).

Критическая точка: максимальное значение функции достигается в точке \( x = 0 \)
\(
y_{\text{max}} = \ln 9.
\)

Значения функции: значения функции в некоторых точках
\(
f(1) = \ln(9 — 1^2) = \ln 8,
\)
\(
f(2) = \ln(9 — 2^2) = \ln 5.
\)

Область значений: область значений \( E(y) = (-\infty; \ln 9] \).