Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \(f(x) = \frac{x}{e^x}\)
— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = \frac{e^x — x \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0\)
— \(e^x \cdot (1 — x) \geq 0, \, x \leq 1\)
— \(x_{\text{max}} = 1, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{e}\)
— Возрастает на \((-\infty; 1]\)
— Убывает на \([1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = +0\)
— \(f(0) = \frac{0}{1} = 0\)
— \(f(-1) = e^{-1} — e^{-1} \cdot (-1) = e^{-1} — e^{-1} = -e^{-1}\)
— \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{e}]\)
2) \(f(x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} — x \cdot \frac{2x}{2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \geq 0\)
— \(1 — x^2 \geq 0, \, (x + 1)(x — 1) \leq 0\)
— \(-1 \leq x \leq 1, \, x_{\text{min}} = -1, \, x_{\text{max}} = 1\)
— \(y_{\text{min}} = -e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{e}}, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{\sqrt{e}}\)
— Функция возрастает на \([-1; 1]\)
— Убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to -\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(\lim_{x \to +\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(f(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)\)
— \(f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0^2}{2}} = 0 \cdot 1 = 0\)
\(
f(2) = 2 \cdot e^{-\frac{2^2}{2}} = \frac{2}{e^2};
\)
\(
E(y) = \left[-\frac{1}{\sqrt{e}}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right];
\)
3) \(f(x) = \log_2(x^2 + x);\)
— \(x(x + 1) > 0, \, x < -1, \, x > 0;\)
— \(D(x) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty);\)
— \(f'(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x) \cdot \ln 2} \geq 0;\)
— \(2x + 1 > 0, \, x > -\frac{1}{2};\)
— Возрастает на \((0; +\infty);\)
\(
\text{Убывает на } (-\infty; -1);
\)
\(
f(-2) = \log_2 2 = 1;
\)
\(
f(1) = \log_2 2 = 1;
\)
\(
E(y) = (-\infty; +\infty);
\)
1) \(f(x) = \frac{x}{e^x}\)
— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = \frac{e^x — x \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0\)
— \(e^x \cdot (1 — x) \geq 0, \, x \leq 1\)
— \(x_{\text{max}} = 1, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{e}\)
— возрастает на \((-\infty; 1]\)
— убывает на \([1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = +0\)
— \(f(0) = \frac{0}{1} = 0\)
— \(f(-1) = e^{-1} — e^{-1} \cdot (-1) = e^{-1} — e^{-1} = -e^{-1}\)
— \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{e}]\)
2) \(f(x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} — x \cdot \frac{2x}{2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \geq 0\)
— \(1 — x^2 \geq 0, \, (x + 1)(x — 1) \leq 0\)
— \(-1 \leq x \leq 1, \, x_{\text{min}} = -1, \, x_{\text{max}} = 1\)
— \(y_{\text{min}} = -e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{e}}, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{\sqrt{e}}\)
— функция возрастает на \([-1; 1]\)
— убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to -\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(\lim_{x \to +\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(f(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)\)
— \(f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0^2}{2}} = 0 \cdot 1 = 0\)
\(f(2) = 2 \cdot e^{-\frac{2^2}{2}} = \frac{2}{e^2}\);
\(E(y) = \left[-\frac{1}{\sqrt{e}}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right]\);
график данной функции:
3) \(f(x) = \log_2(x^2 + x)\);
— \(x(x + 1) > 0, \, x < -1, \, x > 0\);
— \(D(x) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\);
— \(f'(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x) \cdot \ln 2} \geq 0\);
— \(2x + 1 > 0, \, x > -\frac{1}{2}\);
— возрастает на \((0; +\infty)\);
\(\text{убывает на } (-\infty; -1)\);
\(f(-2) = \log_2 2 = 1\);
\(f(1) = \log_2 2 = 1\);
\(E(y) = (-\infty; +\infty)\);
график данной функции:
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.