ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(f(x) = \frac{x}{e^x}\)

— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = \frac{e^x — x \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0\)
— \(e^x \cdot (1 — x) \geq 0, \, x \leq 1\)
— \(x_{\text{max}} = 1, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{e}\)
— Возрастает на \((-\infty; 1]\)
— Убывает на \([1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = +0\)
— \(f(0) = \frac{0}{1} = 0\)
— \(f(-1) = e^{-1} — e^{-1} \cdot (-1) = e^{-1} — e^{-1} = -e^{-1}\)
— \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{e}]\)

2) \(f(x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}\)

— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} — x \cdot \frac{2x}{2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \geq 0\)
— \(1 — x^2 \geq 0, \, (x + 1)(x — 1) \leq 0\)
— \(-1 \leq x \leq 1, \, x_{\text{min}} = -1, \, x_{\text{max}} = 1\)
— \(y_{\text{min}} = -e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{e}}, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{\sqrt{e}}\)
— Функция возрастает на \([-1; 1]\)
— Убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to -\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(\lim_{x \to +\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(f(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)\)
— \(f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0^2}{2}} = 0 \cdot 1 = 0\)

\(
f(2) = 2 \cdot e^{-\frac{2^2}{2}} = \frac{2}{e^2};
\)
\(
E(y) = \left[-\frac{1}{\sqrt{e}}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right];
\)

3) \(f(x) = \log_2(x^2 + x);\)

— \(x(x + 1) > 0, \, x < -1, \, x > 0;\)
— \(D(x) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty);\)
— \(f'(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x) \cdot \ln 2} \geq 0;\)
— \(2x + 1 > 0, \, x > -\frac{1}{2};\)
— Возрастает на \((0; +\infty);\)

\(
\text{Убывает на } (-\infty; -1);
\)
\(
f(-2) = \log_2 2 = 1;
\)
\(
f(1) = \log_2 2 = 1;
\)
\(
E(y) = (-\infty; +\infty);
\)

1) \(f(x) = \frac{x}{e^x}\)

— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = \frac{e^x — x \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0\)
— \(e^x \cdot (1 — x) \geq 0, \, x \leq 1\)
— \(x_{\text{max}} = 1, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{e}\)
— возрастает на \((-\infty; 1]\)
— убывает на \([1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = +0\)
— \(f(0) = \frac{0}{1} = 0\)
— \(f(-1) = e^{-1} — e^{-1} \cdot (-1) = e^{-1} — e^{-1} = -e^{-1}\)
— \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{e}]\)

2) \(f(x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}\)

— \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)
— \(f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} — x \cdot \frac{2x}{2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \geq 0\)
— \(1 — x^2 \geq 0, \, (x + 1)(x — 1) \leq 0\)
— \(-1 \leq x \leq 1, \, x_{\text{min}} = -1, \, x_{\text{max}} = 1\)
— \(y_{\text{min}} = -e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{e}}, \, y_{\text{max}} = \frac{1}{\sqrt{e}}\)
— функция возрастает на \([-1; 1]\)
— убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
— \(\lim_{x \to -\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(\lim_{x \to +\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0\)
— \(f(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)\)
— \(f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0^2}{2}} = 0 \cdot 1 = 0\)

\(f(2) = 2 \cdot e^{-\frac{2^2}{2}} = \frac{2}{e^2}\);
\(E(y) = \left[-\frac{1}{\sqrt{e}}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right]\);

график данной функции:

3) \(f(x) = \log_2(x^2 + x)\);

— \(x(x + 1) > 0, \, x < -1, \, x > 0\);
— \(D(x) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\);
— \(f'(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x) \cdot \ln 2} \geq 0\);
— \(2x + 1 > 0, \, x > -\frac{1}{2}\);
— возрастает на \((0; +\infty)\);

\(\text{убывает на } (-\infty; -1)\);
\(f(-2) = \log_2 2 = 1\);
\(f(1) = \log_2 2 = 1\);
\(E(y) = (-\infty; +\infty)\);

график данной функции: