ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) y = log9 x;
y’ = 1 / (x * ln 9)
2) y = ln 2x;
y’ = 1 /x
3) y = lg(x^2 — 4);
y’ = 2x / ((x^2 — 4) * ln 10)
4) y = ln^2 x;
y’ = (1 / ln x) + (ln x / x) = (2ln x / (x))
5) y = ln sin x
y’ = cos x / sin x = ctg x

6) y = x^3 · ln x
y’ = (1 · x^3 — ln x · 3x^2) / x
y’ = (x^2 · (1 — 3 ln x)) / x^6
y’ = (1 — 3 ln x) / x^4

7) y = log₀.₂ (2x² + x — 4)
y’ = (2 · 2x + 1) / ((2x² + x — 4) · ln 0.2)
y’ = (4x + 1) / ((2x² + x — 4) ln 0.2)

8) y = ln(1 — 0.2x);
y’ = 1 / (x-5)

9) y = x⁵ ln x;
y’ = 5x⁴ ln x + x⁵ / x
y’ = x⁴ (5 ln x + 1);

1) Для функции \( y = \log_9 x \), производная вычисляется как:

\[ y’ = \frac{1}{x \cdot \ln 9} \]

2) Для функции \( y = \ln(2x) \), производная вычисляется как:

\[ y’ = \frac{1}{x} \]

3) Для функции \( y = \lg(x^2 — 4) \), производная вычисляется как:

\[ y’ = \frac{2x}{(x^2 — 4) \cdot \ln 10} \]

4) Для функции \( y = (\ln x)^2 \), производная вычисляется как:

y’ = (1 / ln x) + (ln x / x) = (2ln x / (x))

5) Для функции \( y = \ln(\sin x) \), производная вычисляется как:

\[ y’ = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

6) Для функции \( y = x^3 \cdot \ln x \), производная вычисляется следующим образом:

Сначала используем правило произведения:

\[ y’ = (x^3)’ \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)’ \]

\[ y’ = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} \]

Упрощаем:

\[ y’ = 3x^2 \cdot \ln x + x^2 \]

Теперь упростим выражение:

y’ = (1 — 3 ln x) / x^4

7) Для функции \( y = \log_{0.2}(2x^2 + x — 4) \), производная вычисляется как:

\[ y’ = \frac{(4x + 1)}{(2x^2 + x — 4) \cdot \ln 0.2} \]

8) Для функции \( y = \ln(1 — 0.2x) \), производная вычисляется как:

\(
y’ = \frac{1}{x — 5}
\)

9) Для функции \( y = x^5 \ln x \), производная вычисляется следующим образом:

Используем правило произведения:

\[ y’ = (x^5)’ \cdot \ln x + x^5 \cdot (\ln x)’ \]

\[ y’ = 5x^4 \cdot \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} \]

Упрощаем:

\[ y’ = 5x^4 \cdot \ln x + x^4 \]

Теперь упростим выражение:

\[ y’ = x^4 (5\ln x + 1) \]