ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = e^{5x} + e^{-4x}, \, x_0 = 0; \)
\( f'(x) = 5e^{5x} — 4e^{-4x}; \)
\( f'(0) = 5 — 4 = 1; \)
Ответ: \( 1. \)

2) \( f(x) = e^{-x} \cdot \tan(x), \, x_0 = 0; \)
\( f'(x) = -e^{-x} \cdot \tan(x) + e^{-x} \cdot \cos^2(x); \)
\( f'(0) = e^{0} \cdot \tan(0) + e^{0} \cdot \cos^2(0); \)
\( f'(0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1; \)
Ответ: \( 1. \)

3) \( f(x) = 4x^2 — 3x — 4, \, x_0 = -1; \)
\( f'(x) = (2x — 3) \cdot (4x^2 — 3x — 4) \cdot \ln(4); \)
\( f'(-1) = (-2 — 3) \cdot (4^{-1} + 3 — 4) \cdot \ln(4); \)
\( f'(-1) = -5 + 4^0 \cdot \ln(4) = -5 \ln(4); \)
Ответ: \( -5 \ln(4). \)

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{5x} + e^{-4x} \), где \( x_0 = 0 \).
Найдем производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \big( e^{5x} + e^{-4x} \big) = 5e^{5x} — 4e^{-4x}.
\)
Подставим \( x_0 = 0 \) в выражение для производной:
\(
f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} — 4e^{-4 \cdot 0}.
\)
Вычислим:
\(
f'(0) = 5 \cdot 1 — 4 \cdot 1 = 5 — 4 = 1.
\)
Ответ: \( 1. \)

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{-x} \cdot \tan(x) \), где \( x_0 = 0 \).
Найдем производную \( f'(x) \) по правилу произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \big( e^{-x} \big) \cdot \tan(x) + e^{-x} \cdot \frac{d}{dx} \big( \tan(x) \big).
\)
Вычислим производные:
\(
\frac{d}{dx} \big( e^{-x} \big) = -e^{-x}, \quad \frac{d}{dx} \big( \tan(x) \big) = \sec^2(x).
\)
Подставим:
\(
f'(x) = -e^{-x} \cdot \tan(x) + e^{-x} \cdot \sec^2(x).
\)
Теперь подставим \( x_0 = 0 \):
\(
f'(0) = -e^{0} \cdot \tan(0) + e^{0} \cdot \sec^2(0).
\)
Вычислим значения тригонометрических функций:
\(
\tan(0) = 0, \quad \sec^2(0) = (\cos(0))^{-2} = 1.
\)
Подставим:
\(
f'(0) = -1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1.
\)
Ответ: \( 1. \)

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = 4x^2 — 3x — 4 \), где \( x_0 = -1 \).
Найдем производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = (2x — 3) \cdot (4x^2 — 3x — 4) \cdot \ln(4).
\)
Подставим \( x_0 = -1 \):
\(
f'(-1) = (2(-1) — 3) \cdot (4(-1)^2 — 3(-1) — 4) \cdot \ln(4).
\)
Вычислим значения в скобках:
\(
2(-1) — 3 = -2 — 3 = -5,
\)
\(
4(-1)^2 — 3(-1) — 4 = 4(1) + 3 — 4 = 4 + 3 — 4 = 3.
\)
Подставим:
\(
f'(-1) = (-5) \cdot (3) \cdot \ln(4).
\)
Упростим:
\(
f'(-1) = -5 \ln(4).
\)
Ответ: \( -5 \ln(4). \)