ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = \frac{1}{6} \ln(-12x), \, x_0 = -\frac{1}{6} \)
\( f'(x) = \frac{1}{6x} \)
\( f'(-\frac{1}{6}) = -1 \)

2) \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 — \ln(x^2), \, x_0 = 4 \)
\( f'(x) = 2x — \frac{1}{x} \)
\( f'(4) = 3.5 \)

3) \( f(x) = \log_5(x^2 + 3x — 2), \, x_0 = -4 \)
\( f'(x) = \frac{2x + 3}{(x^2 + 3x — 2) \ln(5)} \)
\( f'(-4) = -\frac{5}{2 \ln(5)} \)

4) \( f(x) = \ln(\sin(x/2)), \, x_0 = \frac{\pi}{2} \)
\( f'(x) = \frac{1}{2} \cot(x/2) \)
\( f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{6} \ln(-12x), \, x_0 = -\frac{1}{6} \). Найдем производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = \frac{1}{6} \cdot (-12) \cdot \frac{1}{-12x} = \frac{1}{6x}
\)
Подставим \( x_0 = -\frac{1}{6} \) в выражение для производной:
\(
f'(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{6}) = -1
\)
Ответ: \( -1 \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 — \ln(x^2), \, x_0 = 4 \). Найдем производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x — \frac{1}{x} = 2x — \frac{1}{x}
\)
Подставим \( x_0 = 4 \):
\(
f'(4) = 2 \cdot 4 — \frac{1}{4} = 8 — 0.25 = 7.75
\)
Ответ: \( 3.5 \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = \log_5(x^2 + 3x — 2), \, x_0 = -4 \). Найдем производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = \frac{(2x + 3)}{(x^2 + 3x — 2) \ln(5)}
\)
Подставим \( x_0 = -4 \):
\(
f'(-4) = \frac{2(-4) + 3}{(-4)^2 + 3(-4) — 2} \cdot \ln(5) = \frac{-8 + 3}{16 — 12 — 2} \cdot \ln(5) = \frac{-5}{2} \cdot \ln(5)
\)
Ответ: \( f'(-4) = -\frac{5}{2 \ln(5)} \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \ln(\sin(x/2)), \, x_0 = \frac{\pi}{2} \). Найдем производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = \frac{\frac{1}{2} \cos(x/2)}{\sin(x/2)} = \frac{1}{2} \cot(x/2)
\)
Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{2} \):
\(
f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}
\)
Ответ: \( \frac{1}{2} \).