ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = e^{(2x+1)}, \, x_0 = -1 \)
\( f'(-1) = 2e^{(2x+1)} = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \)
Ответ: \( \frac{2}{e} \)

2) \( f(x) = x — \ln(x), \, x_0 = 3 \)
\( f'(3) = 1 — \frac{1}{x} = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
Ответ: \( \frac{2}{3} \)

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{(2x+1)} \), где \( x_0 = -1 \).
Для нахождения производной функции \( f(x) \) используем правило дифференцирования экспоненты. Производная \( f'(x) \) равна:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{(2x+1)} \right) = 2e^{(2x+1)}.
\)
Подставляем \( x_0 = -1 \) в производную:
\(
f'(-1) = 2e^{(2(-1)+1)} = 2e^{(-2+1)} = 2e^{-1}.
\)
Учитывая, что \( e^{-1} = \frac{1}{e} \), получаем:
\(
f'(-1) = \frac{2}{e}.
\)
Ответ:
\(
\frac{2}{e}.
\)

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = x — \ln(x) \), где \( x_0 = 3 \).
Для нахождения производной функции \( f(x) \) используем правило дифференцирования суммы и логарифма. Производная \( f'(x) \) равна:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x — \ln(x) \right) = 1 — \frac{1}{x}.
\)
Подставляем \( x_0 = 3 \) в производную:
\(
f'(3) = 1 — \frac{1}{3}.
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
f'(3) = \frac{3}{3} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
\)
Ответ:
\(
\frac{2}{3}.
\)