ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Функцию \( F \) называют первообразной от функции \( f \) на промежутке \( I \), если для всех \( x \in I \) выполняется равенство \( F'(x) = f(x) \);
2. Если функция \( F \) является первообразной функции \( f \) на промежутке \( I \), и \( C \) — некоторое число, то функция \( y = F(x) + C \) тоже является первообразной функции \( f \) в этом промежутке;
3. Любую первообразную функции \( f \) на промежутке \( I \) можно представить в виде \( y = F(x) + C \), где \( C \) — некоторое число;
4. Совокупность всех первообразных функции \( f \) на промежутке \( I \) называют её неопределённым интегралом и обозначают записью:
\(
\int f(x)dx.
\)

1. определение первообразной.
функцию \( F(x) \) называют первообразной функции \( f(x) \) на некотором промежутке \( I \), если для всех значений \( x \), принадлежащих этому промежутку (\( x \in I \)), выполняется равенство:
\(
F'(x) = f(x).
\)
то есть производная функции \( F(x) \) равна \( f(x) \).

пример:
если \( f(x) = 2x \), то одной из первообразных функции \( f(x) \) будет \( F(x) = x^2 \), так как производная \( F'(x) = 2x \).

2. свойство первообразной.
если функция \( F(x) \) является первообразной функции \( f(x) \), и \( C \) — некоторое произвольное число, то функция:
\(
y = F(x) + C
\)
тоже является первообразной функции \( f(x) \).

это происходит потому, что производная от константы \( C \) равна нулю (\( C’ = 0 \)), а значит, производная функции \( F(x) + C \) равна:
\(
(F(x) + C)’ = F'(x) + 0 = f(x).
\)

3. общее представление первообразной.
любую первообразную функции \( f(x) \) на промежутке \( I \) можно представить в виде:
\(
y = F(x) + C,
\)
где \( C \) — некоторое произвольное число.

4. неопределённый интеграл.
совокупность всех первообразных функции \( f(x) \) на промежутке \( I \) называют её неопределённым интегралом и обозначают записью:
\(
\int f(x)dx.
\)