ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Является первообразной:

1) \( F(x) = 3x^2 + x — 2, \, f(x) = 6x + 1 \);
\( F'(x) = 3 \cdot 2x + 1 — 0 = 6x + 1 = f(x) \);
Ответ: да.

2) \( F(x) = x^{-4}, \, f(x) = -4x^{-5}, \, x > 0 \);
\( F'(x) = -4 \cdot x^{-4-1} = -4 \cdot x^{-5} = f(x) \);
Ответ: да.

3) \( F(x) = \sin x + 3, \, f(x) = \cos x + 3 \);
\( F'(x) = (\sin x + 3)’ = \cos x \neq f(x) \);
Ответ: нет.

4) \( F(x) = \cos 2x, \, f(x) = -\sin 2x \);
\( F'(x) = (\cos 2x)’ = -2 \sin 2x \neq f(x) \);
Ответ: нет.

5) \( F(x) = \sqrt{2x + 1}, \, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}, \, x \in \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right) \);
\( F'(x) = (\sqrt{2x + 1})’ = \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = f(x) \);
Ответ: да.

6) \( F(x) = 5^x, \, f(x) = 5^x \ln 5 \);
\( F'(x) = (5^x)’ = 5^x \ln 5 = f(x) \);
Ответ: да.

является первообразной:

1) \(F(x) = 3x^2 + x — 2, \, f(x) = 6x + 1\)
Вычислим производную \(F'(x)\):
\((3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x\),
\((x)’ = 1\),
\((-2)’ = 0\).
Тогда \(F'(x) = 6x + 1 — 0 = 6x + 1 = f(x)\).
Ответ: да.

2) \(F(x) = x^{-4}, \, f(x) = -4x^{-5}, \, x > 0\)
Вычислим производную \(F'(x)\):
\((x^{-4})’ = -4 \cdot x^{-4-1} = -4 \cdot x^{-5}\).
Тогда \(F'(x) = -4x^{-5} = f(x)\).
Ответ: да.

3) \(F(x) = \sin(x) + 3, \, f(x) = \cos(x) + 3\)
Вычислим производную \(F'(x)\):
\((\sin(x))’ = \cos(x)\),
\((3)’ = 0\).
Тогда \(F'(x) = \cos(x) + 0 = \cos(x) \neq f(x)\).
Ответ: нет.

4) \(F(x) = \cos(2x), \, f(x) = -\sin(2x)\)
Вычислим производную \(F'(x)\):
\((\cos(2x))’ = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)\).
Тогда \(F'(x) = -2\sin(2x) \neq f(x)\).
Ответ: нет.

5) \(F(x) = \sqrt{2x + 1}, \, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}, \, x \in \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\)
Вычислим производную \(F'(x)\):
\((\sqrt{2x + 1})’ = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot (2x + 1)’\),
\((2x + 1)’ = 2\),
тогда \(F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = f(x)\).
Ответ: да.

6) \(F(x) = 5^x, \, f(x) = 5^x \ln(5)\)
Вычислим производную \(F'(x)\):
\((5^x)’ = 5^x \ln(5)\).
Тогда \(F'(x) = 5^x \ln(5) = f(x)\).
Ответ: да.