ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите первообразную \( F \) для функции \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) на промежутке \( I = (0; +\infty) \), которая принимает значение \( F\left(\frac{1}{3}\right) = -9 \).

2) Найдите первообразную \( F \) для функции \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \) на промежутке \( I = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \), которая принимает значение \( F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3} \).

3) Найдите первообразную \( F \) для функции \( f(x) = \frac{1}{x} \) на промежутке \( I = (-\infty; 0) \), которая принимает значение \( F(-e^3) = 7 \).

4) Найдите первообразную \( F \) для функции \( f(x) = \frac{1}{x^4} \) на промежутке \( I = (-\infty; 0) \), которая принимает значение \( F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \).

Найти первообразную:

1) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), \((0; +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{3}\right) = -9\):
\(F(x) = \int \frac{1}{x^2} dx = x^{-2+1} \cdot \frac{1}{-2+1} = -\frac{1}{x} + C\)
\(F\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\frac{1}{3}} + C = -3 + C = -9; \quad C = -6\)
Ответ: \(y = -\frac{1}{x} — 6\).

2) \(f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\), \((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\), \(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\):
\(F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(x)} dx = \tan(x) + C\)
\(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = \sqrt{3} + C = 3\sqrt{3}; \quad C = 3\sqrt{3} — \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
Ответ: \(y = \tan(x) + 2\sqrt{3}\).

3) \(f(x) = \frac{1}{x}\), \((-\infty; 0)\), \(F(-e^3) = 7\):
\(F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x|; \quad x < 0 \Rightarrow F(x) = \ln(-x) + C\)
\(F(-e^3) = \ln(e^3) + C = 3 + C = 7; \quad C = 7 — 3 = 4\)
Ответ: \(y = \ln(-x) + 4\).

4) \(f(x) = \frac{1}{x^4}\), \((-\infty; 0)\), \(F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\):
\(F(x) = \int \frac{1}{x^4} dx = x^{-4+1} \cdot \frac{1}{-4+1} = -\frac{1}{3x^3} + C\)
\(F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)^3} + C = -\frac{1}{3} \cdot (-8) + C = \frac{8}{3} + C = 3; \quad C = 3 — \frac{8}{3} = \frac{1}{3}\)
Ответ: \(y = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}\).

найти первообразную:

1) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), \((0; +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{3}\right) = -9\):
запишем интеграл:
\(
F(x) = \int \frac{1}{x^2} dx = x^{-2+1} \cdot \frac{1}{-2+1} = -\frac{1}{x} + C
\)
подставим условие \(F\left(\frac{1}{3}\right) = -9\):
\(
F\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\frac{1}{3}} + C = -3 + C = -9
\)
найдем \(C\):
\(
C = -9 + 3 = -6
\)
ответ:
\(
y = -\frac{1}{x} — 6
\)

2) \(f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\), \((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\), \(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\):
запишем интеграл:
\(
F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(x)} dx = \tan(x) + C
\)
подставим условие \(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\):
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = \sqrt{3} + C = 3\sqrt{3}
\)
найдем \(C\):
\(
C = 3\sqrt{3} — \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\)
ответ:
\(
y = \tan(x) + 2\sqrt{3}
\)

3) \(f(x) = \frac{1}{x}\), \((-\infty; 0)\), \(F(-e^3) = 7\):
запишем интеграл:
\(
F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x|
\)
учитывая область определения \(x < 0\), получаем:
\(
F(x) = \ln(-x) + C
\)
подставим условие \(F(-e^3) = 7\):
\(
F(-e^3) = \ln(e^3) + C = 3 + C = 7
\)
найдем \(C\):
\(
C = 7 — 3 = 4
\)
ответ:
\(
y = \ln(-x) + 4
\)

4) \(f(x) = \frac{1}{x^4}\), \((-\infty; 0)\), \(F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\):
запишем интеграл:
\(
F(x) = \int \frac{1}{x^4} dx = x^{-4+1} \cdot \frac{1}{-4+1} = -\frac{1}{3x^3} + C
\)
подставим условие \(F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\):
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)^3} + C = -\frac{1}{3} \cdot (-8) + C = \frac{8}{3} + C = 3
\)
найдем \(C\):
\(
C = 3 — \frac{8}{3} = \frac{9}{3} — \frac{8}{3} = \frac{1}{3}
\)
ответ:
\(
y = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}
\)