ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} \) на промежутке \( I = (0; ?) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \).

2. Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) на промежутке \( I = (0; +\infty) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F(16) = 10 \).

3. Для функции \( f(x) = \frac{1}{x} \) на промежутке \( I = (0; +\infty) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F\left(\frac{1}{e}\right) = -2 \).

4. Для функции \( f(x) = 2^x \) на промежутке \( I = (-\infty; +\infty) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F(5) = 1 \).

1.
\(f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}\), \((0; \pi)\), \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C;
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 + C = 0, \quad C = 1;
\)
Ответ:
\(
y = -\cot x + 1.
\)

2.
\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\), \((0; +\infty)\), \(F(16) = 10\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C;
\)
\(
F(16) = 2 \cdot 4 + C = 10, \quad C = 2;
\)
Ответ:
\(
y = 2\sqrt{x} + 2.
\)

3.
\(f(x) = \frac{1}{x}\), \((0; +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{e}\right) = -2\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C = \ln x + C;
\)
\(
F\left(\frac{1}{e}\right) = -1 + C = -2, \quad C = -1;
\)
Ответ:
\(
y = \ln x — 1.
\)

4.
\(f(x) = 2^x\), \((-\infty; +\infty)\), \(F(5) = 1\):
\(
F(x) = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C;
\)
\(
F(5) = \frac{2^5}{\ln 2} + C = 1, \quad C = 1 — \frac{32}{\ln 2}.
\)
Ответ:
\(
y = \frac{2^x + \ln 2 — 32}{\ln 2}.
\)

1.
\(f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}\), \((0; \pi)\), \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0\):

Рассчитаем первообразную функции \(f(x)\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C
\)
где \(C\) — произвольная постоянная.

Условие \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0\) позволяет найти значение \(C\):
\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = -1 + C = 0
\)
Отсюда \(C = 1\).

Таким образом, первообразная:
\(
F(x) = -\cot x + 1
\)
Ответ:
\(
y = -\cot x + 1
\)

2.
\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\), \((0; +\infty)\), \(F(16) = 10\):

Рассчитаем первообразную функции \(f(x)\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C
\)
где \(C\) — произвольная постоянная.

Условие \(F(16) = 10\) позволяет найти значение \(C\):
\(
F(16) = 2\sqrt{16} + C = 2 \cdot 4 + C = 10
\)
Отсюда \(C = 2\).

Таким образом, первообразная:
\(
F(x) = 2\sqrt{x} + 2
\)
Ответ:
\(
y = 2\sqrt{x} + 2
\)

3.
\(f(x) = \frac{1}{x}\), \((0; +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{e}\right) = -2\):

Рассчитаем первообразную функции \(f(x)\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln(x) + C
\)
где \(C\) — произвольная постоянная.

Условие \(F\left(\frac{1}{e}\right) = -2\) позволяет найти значение \(C\):
\(
F\left(\frac{1}{e}\right) = \ln\left(\frac{1}{e}\right) + C = -1 + C = -2
\)
Отсюда \(C = -1\).

Таким образом, первообразная:
\(
F(x) = \ln(x) — 1
\)
Ответ:
\(
y = \ln(x) — 1
\)

4.
\(f(x) = 2^x\), \((-\infty; +\infty)\), \(F(5) = 1\):

Рассчитаем первообразную функции \(f(x)\):
\(
F(x) = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln(2)} + C
\)
где \(C\) — произвольная постоянная.

Условие \(F(5) = 1\) позволяет найти значение \(C\):
\(
F(5) = \frac{2^5}{\ln(2)} + C = \frac{32}{\ln(2)} + C = 1
\)
Отсюда \(C = 1 — \frac{32}{\ln(2)}\).

Таким образом, первообразная:
\(
F(x) = \frac{2^x}{\ln(2)} + 1 — \frac{32}{\ln(2)}
\)
Ответ:
\(
y = \frac{2^x + \ln(2) — 32}{\ln(2)}
\)