ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите две первообразные функции \( f(x) = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) — \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \), расстояние между соответствующими точками (т.е. точками с равными абсциссами) которых равно 2.

Найти первообразные:

\( f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2}; \)

\( f(x) = -\cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = -\cos x; \)

\( F(x) = -\int \cos x = -\sin x + C; \)

Расстояние между точками:

\( F_1(x) — F_2(x) = -\sin x + C_1 + \sin x — C_2; \)

\( F_1(x) — F_2(x) = C_1 — C_2 = 2, \quad C_1 = C_2 + 2; \)

Ответ: \( y = -\sin x + 4; \quad y = -\sin x + 6. \)

найти первообразные:

\( f(x) = \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) — \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) \)

используем тригонометрическое тождество для разности квадратов синуса и косинуса:

\(\sin^2 a — \cos^2 a = -\cos(2a)\)

тогда

\( f(x) = -\cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = -\cos(x) \)

первообразная функции \( f(x) \) равна:

\( F(x) = -\int \cos(x) dx = -\sin(x) + C \)

расстояние между точками:

пусть \( F_1(x) = -\sin(x) + C_1 \), а \( F_2(x) = -\sin(x) + C_2 \). тогда разность первообразных в этих точках равна:

\( F_1(x) — F_2(x) = -\sin(x) + C_1 + \sin(x) — C_2 = C_1 — C_2 \)

по условию, расстояние между точками равно 2, то есть:

\( C_1 — C_2 = 2 \)

выразим \( C_1 \) через \( C_2 \):

\( C_1 = C_2 + 2 \)

ответ:

если \( C_1 = 4 \), то \( C_2 = 2 \), и первообразные принимают вид:

\( y = -\sin(x) + 4 \)

\( y = -\sin(x) + 6 \)