ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функции \( F_1(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \) и \( F_2(x) = -\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) \) являются первообразными функции \( f(x) = \cos(2x) \). При каком значении \( C \) верно равенство \( F_1(x) = F_2(x) + C \)?

Дана функция: \( f(x) = \cos(2x) \);

1) Первая функция:
\( F_1(x) = \int \sin(2x) \, dx = \sin(x) \cdot \cos(x) \);
\( F_1′(x) = \cos^2(x) — \sin^2(x) \);
\( F_1(x) = \cos(2x) = f(x) \);

2) Вторая функция:
\( F_2(x) = -\int \sin^2(x — 2) \, dx \);
\( F_2(x) = \frac{1 — \cos(2x — 2)}{2} \);
\( F_2(x) = \frac{\cos(2x — 2) — 1}{2} \);
\( F_2(x) = -\frac{\sin^2(x)}{2} \);
\( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \);
\( F_2(x) = \cos(2x) = f(x) \);

3) Выполняется равенство:
\( F_1(x) = F_2(x) + C \),
\( C = F_1(x) — F_2(x) \);
\( F_1(0) = 0 \),
\( F_2(0) = -\sin^2\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \);
\( C = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \);

Ответ: \(
C = \frac{1}{2}.
\).

дана функция \( f(x) = \cos(2x) \). необходимо рассмотреть две функции \( F_1(x) \) и \( F_2(x) \), вычислить их производные и интегралы, а также проверить выполнение равенства \( F_1(x) = F_2(x) + C \).

1) первая функция:

вычислим \( F_1(x) \). интеграл от \( \sin(2x) \) равен:

\(
F_1(x) = \int \sin(2x) \, dx = \sin(x) \cdot \cos(x).
\)

далее найдем производную \( F_1′(x) \):

\(
F_1′(x) = \cos^2(x) — \sin^2(x).
\)

заметим, что \( \cos^2(x) — \sin^2(x) = \cos(2x) \). таким образом, получаем:

\(
F_1(x) = \cos(2x) = f(x).
\)

2) вторая функция:

вычислим \( F_2(x) \). для этого возьмем интеграл от \( -\sin^2(x — 2) \):

\(
F_2(x) = -\int \sin^2(x — 2) \, dx.
\)

применим тригонометрическое тождество \( \sin^2(a) = \frac{1 — \cos(2a)}{2} \). тогда:

\(
F_2(x) = -\int \frac{1 — \cos(2x — 2)}{2} \, dx.
\)

интегрируя, получаем:

\(
F_2(x) = \frac{1 — \cos(2x — 2)}{2}.
\)

упростим выражение:

\(
F_2(x) = \frac{\cos(2x — 2) — 1}{2}.
\)

далее используем еще одно преобразование, связанное с тождеством для синуса:

\(
F_2(x) = -\frac{\sin^2(x)}{2}.
\)

упрощая, записываем результат:

\(
F_2(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x).
\)

заметим, что:

\(
F_2(x) = \cos(2x) = f(x).
\)

3) проверка равенства:

равенство имеет вид:

\(
F_1(x) = F_2(x) + C.
\)

найдем \( C \), вычислив разность \( F_1(x) — F_2(x) \):

\(
C = F_1(x) — F_2(x).
\)

для проверки подставим значение \( x = 0 \):

\(
F_1(0) = 0,
\)
\(
F_2(0) = -\sin^2\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}.
\)

тогда:

\(
C = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
\)

ответ:

\(
C = \frac{1}{2}.
\)