ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функции \( F_1(x) = \sin^2(x) \) и \( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) \) являются первообразными функции \( f(x) = \sin(2x) \). При каком значении \( C \) верно равенство \( F_2(x) = F_1(x) + C \)?

Дана функция:
\( f(x) = \sin 2x \);

1) Первая функция:
\( F_1(x) = \sin^2 x = \sin x \cdot \sin x \);
\( F_1′(x) = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x \);

2) Вторая функция:
\( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \);
\( F_2′(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-\sin 2x) \);
\( F_2′(x) = -(-\sin 2x) = f(x) \);

3) Выполняется равенство:
\( F_2(x) = F_1(x) + C, \, C = F_2(x) — F_1(x) \);
\( F_1(0) = 0, \, F_2(0) = -\frac{1}{2} \cdot \cos 0 = -\frac{1}{2} \);
\( C = -\frac{1}{2} — 0 = -\frac{1}{2} \);

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).

дана функция:
\( f(x) = \sin(2x) \);

1) первая функция:
\( F_1(x) = \sin^2(x) = \sin(x) \cdot \sin(x) \);
вычислим производную:
\( F_1′(x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x) \);
таким образом, \( F_1′(x) = f(x) \).

2) вторая функция:
\( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \);
вычислим производную:
\( F_2′(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) \);
упростим выражение:
\( F_2′(x) = -(-\sin(2x)) = f(x) \);
таким образом, \( F_2′(x) = f(x) \).

3) проверим равенство:
\( F_2(x) = F_1(x) + C \);
найдем \( C \):
\( C = F_2(x) — F_1(x) \).

подставим \( x = 0 \):
\( F_1(0) = 0 \);
\( F_2(0) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(0) = -\frac{1}{2} \);

тогда:
\( C = -\frac{1}{2} — 0 = -\frac{1}{2} \).

ответ:
\( -\frac{1}{2} \).