ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(|x^2 — 2x — 3| < 3x — 3\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 2x — 3 < 3x — 3 — x^2 — 5x < 0 — x(x — 5) < 0 — 0 < x < 5
\)

Второе неравенство:
\(
-x^2 + 2x + 3 < 3x — 3 — x^2 + x — 6 > 0 — (x + 3)(x — 2) > 0 — x < -3,
\)
\(
\, x > 2
\)

Пересечение:
\(
x \in (2; 5)
\)

Ответ:
\(
x \in (2; 5)
\)

2) \(|x^2 + 4x + 3| > x + 3\)

Первое неравенство:
\(
x^2 + 4x + 3 > x + 3 — x^2 + 3x > 0 — x(x + 3) > 0 — x < -3, \, x > 0
\)

Второе неравенство:
\(
-x^2 — 4x — 3 > x + 3 — x^2 + 5x + 6 < 0 — (x + 3)(x + 2) < 0
\)
\(
-3 < x < -2
\)

Объединение:
\(
x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty)
\)

Ответ:
\(
x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty)
\)

1) \( |x^2 — 2x — 3| < 3x — 3 \)

Раскроем модуль, получим два неравенства:

Первое неравенство:
\(
x^2 — 2x — 3 < 3x — 3
\)

Перенесем все в левую часть:
\(
x^2 — 2x — 3 — 3x + 3 < 0
\)
\(
x^2 — 5x < 0
\)

Вынесем \(x\) за скобки:
\(
x(x — 5) < 0
\)

Найдем корни:
\(
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 5
\)

Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки на промежутках. Знаки чередуются, так как множители \(x\) и \((x — 5)\) имеют степень \(1\).

Решение:
\(
0 < x < 5
\)

Второе неравенство:
\(
-(x^2 — 2x — 3) < 3x — 3
\)

Раскроем скобки:
\(
-x^2 + 2x + 3 < 3x — 3
\)

Перенесем все в левую часть:
\(
-x^2 + 2x + 3 — 3x + 3 < 0
\)
\(
-x^2 — x + 6 < 0
\)
\(
x^2 + x — 6 > 0
\)

Найдем корни квадратного уравнения:
\(
D = (1)^2 — 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = 2
\)

Разложим на множители:
\(
(x + 3)(x — 2) > 0
\)

Определим знаки на промежутках:
— при \(x < -3\), выражение положительно;
— при \(-3 < x < 2\), выражение отрицательно;
— при \(x > 2\), выражение положительно.

Решение:
\(
x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)
\)

Объединим решения двух неравенств. Учитывая условие \( |x^2 — 2x — 3| < 3x — 3 \), пересечение решений:
\(
x \in (2; 5)
\)

Ответ для первого неравенства:
\(
(2; 5)
\)

2) \( |x^2 + 4x + 3| > x + 3 \)

Раскроем модуль, получим два неравенства:

Первое неравенство:
\(
x^2 + 4x + 3 > x + 3
\)

Перенесем все в левую часть:
\(
x^2 + 4x + 3 — x — 3 > 0
\)
\(
x^2 + 3x > 0
\)

Вынесем \(x\) за скобки:
\(
x(x + 3) > 0
\)

Найдем корни:
\(
x = 0 \quad \text{и} \quad x = -3
\)

Определим знаки на промежутках. Знаки чередуются, так как множители \(x\) и \((x + 3)\) имеют степень \(1\).

Решение:
\(
x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)
\)

Второе неравенство:
\(
-(x^2 + 4x + 3) > x + 3
\)

Раскроем скобки:
\(
-x^2 — 4x — 3 > x + 3
\)

Перенесем все в левую часть:
\(
-x^2 — 4x — 3 — x — 3 > 0
\)
\(
-x^2 — 5x — 6 > 0
\)
\(
x^2 + 5x + 6 < 0
\)

Найдем корни квадратного уравнения:
\(
D = (5)^2 — 4(1)(6) = 25 — 24 = 1
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = -2
\)

Разложим на множители:
\(
(x + 3)(x + 2) < 0
\)

Определим знаки на промежутках:
— при \(x < -3\), выражение положительно;
— при \(-3 < x < -2\), выражение отрицательно;
— при \(x > -2\), выражение положительно.

Решение:
\(
x \in (-3; -2)
\)

Объединим решения двух неравенств. Учитывая условие \( |x^2 + 4x + 3| > x + 3 \), объединение решений:
\(
x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty)
\)

Ответ для второго неравенства:
\(
(-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty)
\)