ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Область определения функции:
\(
\sqrt{|x — 1|(3x — 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x — 21};
\)

Найдем область определения:
\(
x^2 + 4x — 21 \neq 0, \quad |x — 1|(3x — 6) \geq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 \neq \frac{-4 — 10}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 \neq \frac{-4 + 10}{2} = 3;
\)
\(
|x — 1| = 0, \quad x — 1 = 0, \quad x = 1;
\)
\(
3x — 6 \geq 0, \quad 3x \geq 6, \quad x \geq 2;
\)

Ответ:
\(
D(x) = \{1\} \cup [2; 3) \cup (3; +\infty).
\)

область определения функции:

\(
\sqrt{(x — 1)(3x — 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x — 21};
\)

найдем область определения:

1. подкоренное выражение \((x — 1)(3x — 6)\) должно быть больше либо равно нулю:
\(
(x — 1)(3x — 6) \geq 0.
\)

2. знаменатель дроби \(x^2 + 4x — 21\) не должен быть равен нулю:
\(
x^2 + 4x — 21 \neq 0.
\)

решим уравнение \(x^2 + 4x — 21 = 0\) для нахождения корней:
вычислим дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100.
\)

найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 — 10}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3.
\)

следовательно, \(x \neq -7\) и \(x \neq 3.\)

решим неравенство для подкоренного выражения:
\((x — 1)(3x — 6) \geq 0.\)

разделим на два множителя:
\(
x — 1 = 0, \quad x = 1;
\)
\(
3x — 6 \geq 0, \quad x \geq 2.
\)

построим числовую прямую и определим знаки произведения \((x — 1)(3x — 6)\):
корни разбиения: \(x = 1\) и \(x = 2.\)

— на интервале \((- \infty; 1)\) произведение отрицательное;
— на интервале \([1; 2]\) произведение положительное;
— на интервале \([2; +\infty)\) произведение положительное.

следовательно, условие \((x — 1)(3x — 6) \geq 0\) выполняется при \(x \in [1; +\infty).\)

объединим результаты:

— исключаем точки \(x = -7\) и \(x = 3,\) так как знаменатель обращается в ноль;
— учитываем область определения подкоренного выражения.

ответ:

\(
D(x) = \{1\} \cup [2; 3) \cup (3; +\infty).
\)