ГДЗ Мерзляк 11 Класс по Алгебре Базовый Уровень Номировский Учебник 📕 Поляков — Все Части

Алгебра Базовый Уровень

11 класс учебник Мерзляк

11 класс

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.

Издательство

Вентана-граф

Тип книги

Учебник

Год

2019

Описание

Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .

ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Задача

Доказать, что функция \(F(x)\) является первообразной функции \(f(x)\) на промежутке \(I\):

1) \(F(x) = x^4 — 2x^2 + 6, \, f(x) = 4x^3 — 4x, \, I = (-\infty; +\infty)\);
2) \(F(x) = \frac{1}{x^3}, \, f(x) = -\frac{3}{x^4}, \, I = (-\infty; 0)\);
3) \(F(x) = 5 — 3\sqrt{x}, \, f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}, \, I = (0; +\infty)\);
4) \(F(x) = 3\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 6, \, f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)}, \, I = \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\).

Краткий ответ:

1) \( F(x) = x^4 — 2x^2 + 6 \), \( f(x) = 4x^3 — 4x \);
\( F'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2 \cdot x = 4x^3 — 4x = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

2) \( F(x) = x^{-3}, f(x) = -\frac{1}{x^4}, (-\infty; 0) \);
\( F'(x) = (x^{-3})’ = -3x^{-4} = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

3) \( F(x) = 5 — 3\sqrt{x}, f(x) = \frac{-3}{2\sqrt{x}}, (0; +\infty) \);
\( F'(x) = (5 — 3\sqrt{x})’ = 0 — \frac{3}{2\sqrt{x}} = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

4) \( F(x) = 3 \cdot \tan^3\left(\frac{\pi}{3}\right) + 6, f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}, (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \);
\( F'(x) = \left( 3 \cdot \tan^3\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)’ = \frac{3}{\cos^2 x} = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Проверим, является ли \( F(x) \) первообразной функции \( f(x) \). Для этого найдем производную \( F'(x) \) и сравним её с \( f(x) \).

1)
\( F(x) = x^4 — 2x^2 + 6 \), \( f(x) = 4x^3 — 4x \).

Находим производную \( F'(x) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 — 2x^2 + 6) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x.
\)

Заметим, что:
\(
F'(x) = f(x).
\)

Вывод: \( F(x) \) действительно является первообразной для \( f(x) \).
Что и требовалось доказать.

2)
\( F(x) = x^{-3} \), \( f(x) = -\frac{1}{x^4}, (-\infty; 0) \).

Находим производную \( F'(x) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-4}.
\)

Заметим, что:
\(
F'(x) = f(x).
\)

Вывод: \( F(x) \) действительно является первообразной для \( f(x) \).
Что и требовалось доказать.

3)
\( F(x) = 5 — 3\sqrt{x} \), \( f(x) = \frac{-3}{2\sqrt{x}}, (0; +\infty) \).

Находим производную \( F'(x) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(5 — 3\sqrt{x}) = 0 — \frac{3}{2\sqrt{x}}.
\)

Заметим, что:
\(
F'(x) = f(x).
\)

Вывод: \( F(x) \) действительно является первообразной для \( f(x) \).
Что и требовалось доказать.

4)
\( F(x) = 3 \cdot \tan^3\left(\frac{\pi}{3}\right) + 6, f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \).

Находим производную \( F'(x) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}\left(3 \cdot \tan^3 x\right) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}.
\)

Заметим, что:
\(
F'(x) = f(x).
\)

Вывод: \( F(x) \) действительно является первообразной для \( f(x) \).
Что и требовалось доказать.

Оцени решение