ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти первообразную:

1) \(f(x) = 5\); \(F(x) = 5x + C\);
2) \(f(x) = x\); \(F(x) = \frac{x^2}{2} + C\);
3) \(f(x) = x^6\); \(F(x) = \frac{x^7}{7} + C\);
4) \(f(x) = 2^x\); \(F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C\);
5) \(f(x) = \frac{1}{x^7}\), \((-∞; 0)\); \(F(x) = -\frac{1}{6x^6} + C\);
6) \(f(x) = \sqrt{x}\), \([1; +∞)\); \(F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\);
7) \(f(x) = x^{\frac{1}{5}}\), \((-∞; -3)\); \(F(x) = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} + C\);
8) \(f(x) = \frac{1}{x^4}\), \((0; +∞)\); \(F(x) = -\frac{1}{3x^3} + C\).

Найти первообразную:

1. \(f(x) = 5\).
Эта функция является постоянной, поэтому её первообразная равна произведению этой постоянной на переменную \(x\):
\(F(x) = 5x + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

2. \(f(x) = x\).
Для нахождения первообразной используем правило интегрирования степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\).
В данном случае \(n = 1\):
\(F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C\).

3. \(f(x) = x^6\).
Применяем то же правило для степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n = 6\):
\(F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C\).

4. \(f(x) = 2^x\).
Для нахождения первообразной экспоненциальной функции \(a^x\) используется формула:
\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C\), где \(a > 0\) и \(a \neq 1\).
В данном случае \(a = 2\):
\(F(x) = \frac{2^x}{\ln(2)} + C\).

5. \(f(x) = \frac{1}{x^7}\), на промежутке \((-∞; 0)\).
Функцию можно переписать как \(f(x) = x^{-7}\).
Применяем правило интегрирования степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\).
Здесь \(n = -7\):
\(F(x) = \frac{x^{-7+1}}{-7+1} + C = \frac{x^{-6}}{-6} + C = -\frac{1}{6x^6} + C\).

6. \(f(x) = \sqrt{x}\), на промежутке \([1; +∞)\).
Функцию можно записать как \(f(x) = x^{\frac{1}{2}}\).
Применяем правило интегрирования степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\).
Здесь \(n = \frac{1}{2}\):
\(F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\).

7. \(f(x) = x^{\frac{1}{5}}\), на промежутке \((-∞; -3)\).
Применяем правило интегрирования степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\).
Здесь \(n = \frac{1}{5}\):
\(F(x) = \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} + C = \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} + C = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} + C\).

8. \(f(x) = \frac{1}{x^4}\), на промежутке \((0; +∞)\).
Функцию можно переписать как \(f(x) = x^{-4}\).
Применяем правило интегрирования степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\).
Здесь \(n = -4\):
\(F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C\).