ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти первообразную:

1) \(f(x) = 0\);
\(F(x) = C\);

2) \(f(x) = x^8\);
\(F(x) = \frac{x^9}{9} + C\);

3) \(f(x) = \frac{1}{3^x}\);
\(F(x) = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C\);

4) \(f(x) = \frac{1}{x^{20}}\), \((0; +\infty)\);
\(F(x) = \frac{x^{-19}}{-19} = -\frac{1}{19x^{19}} + C\);

5) \(f(x) = \sqrt[7]{x}\), \((4; +\infty)\);
\(F(x) = \frac{8}{7}x^{\frac{8}{7}} = \frac{7}{8}\sqrt[8]{x^8} + C\);

6) \(f(x) = \sqrt[4]{x}\), \([0.5; +\infty)\);
\(F(x) = \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}\sqrt[5]{x^5} + C\).

Найти первообразную:

1) \(f(x) = 0\)
Первообразная функции равна константе:
\(F(x) = C\)

2) \(f(x) = x^8\)
Применяем правило нахождения первообразной для степенной функции:
\(
F(x) = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^9}{9} + C
\)

3) \(f(x) = \frac{1}{3^x}\)
Первообразная экспоненциальной функции находится с использованием логарифма:
\(
F(x) = -\frac{3^{-x}}{\ln(3)} + C
\)

4) \(f(x) = \frac{1}{x^{20}}\), \(x \in (0; +\infty)\)
Первообразная функции на данном промежутке:
\(
F(x) = \frac{x^{-20+1}}{-20+1} = \frac{x^{-19}}{-19} = -\frac{1}{19x^{19}} + C
\)

5) \(f(x) = \sqrt[7]{x}\), \(x \in (4; +\infty)\)
Запишем функцию в виде степени \(x^{\frac{1}{7}}\) и найдем первообразную:
\(
F(x) = \frac{x^{\frac{1}{7} + 1}}{\frac{1}{7} + 1} = \frac{x^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}} + C
\)

6) \(f(x) = \sqrt[4]{x}\), \(x \in [0.5; +\infty)\)
Запишем функцию в виде степени \(x^{\frac{1}{4}}\) и найдем первообразную:
\(
F(x) = \frac{x^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C
\)