ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Проверить правильность следующих равенств, найдя первообразные и вычислив производные для проверки:

1. \(
\int x \cos x \, dx = \cos x + x \sin x + C
\)

2. \(
\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C
\)

1) \( \int x \cos(x) \, dx = \cos(x) + x \sin(x) + C \);
\( f(x) = x \cos(x), \, F(x) = \cos(x) + x \sin(x) + C; \, \)
\(F'(x) = -\sin(x) + \sin(x) + x \cos(x) = x \cos(x) \);

2) \( \int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + 4)}} = \sqrt{(x^2 + 4)} + C \);
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 4)}}, \, F(x) = \sqrt{(x^2 + 4)} + C; \, F'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{(x^2 + 4)}} = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 4)}} \).

Проверить равенство:

1) Формула интеграла:
\(
\int x \cos(x) \, dx = \cos(x) + x \sin(x) + C
\)

Проверка:
Функция под интегралом:
\(
f(x) = x \cos(x)
\)

Предполагаемая первообразная:
\(
F(x) = \cos(x) + x \sin(x) + C
\)

Вычисляем производную предполагаемой первообразной:
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \big( \cos(x) + x \sin(x) + C \big)
\)

Раскрываем производную:
\(
F'(x) = -\sin(x) + \sin(x) + x \cos(x)
\)

Упрощаем выражение:
\(
F'(x) = x \cos(x)
\)

Получили исходную функцию \(f(x)\), значит равенство верно.

2) Формула интеграла:
\(
\int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + 4)}} = \sqrt{(x^2 + 4)} + C
\)

Проверка:
Функция под интегралом:
\(
f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 4)}}
\)

Предполагаемая первообразная:
\(
F(x) = \sqrt{(x^2 + 4)} + C
\)

Вычисляем производную предполагаемой первообразной:
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \big( \sqrt{(x^2 + 4)} + C \big)
\)

Раскрываем производную:
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{(x^2 + 4)} + 0
\)

Для производной корня используем правило:
\(
\frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’
\)

Подставляем \(u = x^2 + 4\):
\(
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(x^2 + 4)}} \cdot (2x)
\)

Упрощаем выражение:
\(
F'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{(x^2 + 4)}} = \frac{x}{\sqrt{(x^2 + 4)}}
\)

Получили исходную функцию \(f(x)\), значит равенство верно.