ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Проверить, что функция

\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1}
\)

является первообразной функции

\(
f(x) = \frac{5}{(3x — 1)^2}
\)

на каждом из промежутков \((- \infty; \frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}; + \infty)\).

Записать общий вид первообразных функции \(f(x)\) на каждом из указанных промежутков.

Является первообразной:
\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1}, \quad f(x)
\)
\(
F'(x) = \frac{(3x — 1) \cdot 1 — (x — 2) \cdot 3}{(3x — 1)^2}
\)
\(
F'(x) = \frac{3x — 3x + 5}{(3x — 1)^2}\)

Область определения:
\(
3x — 1 = 0, \quad 3x = 1, \quad x = \frac{1}{3};
\)
\(D(f) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty);\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1} + C.
\)

Для проверки того, что функция

\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1}
\)

является первообразной функции

\(
f(x) = \frac{5}{(3x — 1)^2},
\)

вычислим производную \( F'(x) \), используя правило дифференцирования частного. По этому правилу производная функции \( \frac{u}{v} \) вычисляется по формуле

\(
\frac{u’}{v} — \frac{u v’}{v^2},
\)

где \( u = x — 2 \) и \( v = 3x — 1 \).

Сначала найдем производные \( u’ \) и \( v’ \):

\(
u’ = 1,
\)

\(
v’ = 3.
\)

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

\(
F'(x) = \frac{(3x — 1) \cdot 1 — (x — 2) \cdot 3}{(3x — 1)^2}.
\)

Раскроем скобки в числителе:

\(
F'(x) = \frac{3x — 1 — 3x + 6}{(3x — 1)^2}.
\)

Приведем подобные члены в числителе:

\(
F'(x) = \frac{5}{(3x — 1)^2}.
\)

Теперь мы видим, что

\(
F'(x) = f(x).
\)

Таким образом, функция \( F(x) \) действительно является первообразной функции \( f(x) \).

Теперь определим область определения функции \( F(x) \). Знаменатель \( 3x — 1 \) не должен равняться нулю, следовательно:

\(
3x — 1 \neq 0,
\)

что приводит к уравнению:

\(
3x — 1 = 0, \quad 3x = 1, \quad x = \frac{1}{3}.
\)

Таким образом, область определения функции \( F(x) \):

\(
D(F) = (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty).
\)

В заключение, общий вид первообразных функции \( f(x) \):

\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1} + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа.