ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \(f(x)\) найти первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1. \(f(x) = x^3\), точка \(M\left(1; \frac{5}{4}\right)\);

2. \(f(x) = \cos(x)\), точка \(N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right)\);

3. \(f(x) = 3^x\), точка \(K\left(2; \frac{9}{\ln 3}\right)\).

1) \(f(x) = x^3\), \(M(1; \frac{5}{4})\):
\(
F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} + C
\)
\(
F(1) = \frac{1^4}{4} + C = \frac{5}{4}; \quad C = \frac{5}{4} — \frac{1}{4} = 1
\)
Ответ: \(y = \frac{x^4}{4} + 1\).

2) \(f(x) = \cos(x)\), \(N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right)\):
\(
F(x) = \int \cos(x) dx = \sin(x) + C
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = \frac{5}{2}; \quad \frac{1}{2} + C = \frac{5}{2}; \quad C = 2
\)
Ответ: \(y = \sin(x) + 2\).

3) \(f(x) = 3^x\), \(K(2; \frac{9}{\ln 3})\):
\(
F(x) = \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C
\)
\(
F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}; \quad \frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}; \quad C = 0
\)
Ответ: \(y = \frac{3^x}{\ln 3}\).

1) \(f(x) = x^3\), \(M(1; \frac{5}{4})\):

Сначала найдем неопределенный интеграл функции \(f(x)\):

\(
F(x) = \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C
\)

Теперь подставим \(x = 1\) в функцию \(F(x)\) и приравняем к значению \(\frac{5}{4}\):

\(
F(1) = \frac{1^4}{4} + C = \frac{1}{4} + C
\)

Приравниваем к \(\frac{5}{4}\):

\(
\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4}
\)

Решим это уравнение для \(C\):

\(
C = \frac{5}{4} — \frac{1}{4} = 1
\)

Таким образом, окончательная форма функции:

\(
y = \frac{x^4}{4} + 1
\)

2) \(f(x) = \cos(x)\), \(N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right)\):

Сначала найдем неопределенный интеграл функции \(f(x)\):

\(
F(x) = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C
\)

Теперь подставим \(x = \frac{\pi}{6}\) в функцию \(F(x)\) и приравняем к значению \(\frac{5}{2}\):

\(
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C
\)

Зная, что \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\), получаем:

\(
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + C
\)

Приравниваем к \(\frac{5}{2}\):

\(
\frac{1}{2} + C = \frac{5}{2}
\)

Решим это уравнение для \(C\):

\(
C = \frac{5}{2} — \frac{1}{2} = 2
\)

Таким образом, окончательная форма функции:

\(
y = \sin(x) + 2
\)

3) \(f(x) = 3^x\), \(K(2; \frac{9}{\ln 3})\):

Сначала найдем неопределенный интеграл функции \(f(x)\):

\(
F(x) = \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C
\)

Теперь подставим \(x = 2\) в функцию \(F(x)\) и приравняем к значению \(\frac{9}{\ln 3}\):

\(
F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3} + C
\)

Приравниваем к \(\frac{9}{\ln 3}\):

\(
\frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}
\)

Решим это уравнение для \(C\):

\(
C = 0
\)

Таким образом, окончательная форма функции:

\(
y = \frac{3^x}{\ln 3}
\)