ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 107 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вкладчик положил в банк 30 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был уменьшен на 6%. На конец второго года на счёте стало 34 320 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Пусть ставка \( x \% \) годовых:
\(
\frac{100 + x}{100} \cdot \frac{94 + x}{100} \cdot 30 000 = 34 320;
\)
\(
3 \cdot (9400 + 194x + x^2) = 34 320;
\)
\(
x^2 + 194x + 9 400 = 11 440;
\)
\(
x^2 + 194x — 2 040 = 0;
\)
\(
D = 194^2 + 4 \cdot 2 040 = 45 796,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-194 — 214}{2} = -204;
\)
\(
x_2 = \frac{194 + 214}{2} = 10.
\)

Ответ: \( 10\% \).

Пусть годовая процентная ставка равна \( x \% \).

В первый год вклад увеличивается на \( x \% \), то есть сумма становится
\(
30\,000 \times \frac{100 + x}{100}
\)

Во второй год сумма увеличивается на \( x \% \) уже от новой суммы, то есть
\(
30\,000 \times \frac{100 + x}{100} \times \frac{100 + x}{100}
\)

Но по условию во второй год вклад был уменьшен на \( 6\% \), то есть после начисления процентов сумма уменьшается на \( 6\% \):

\(
30\,000 \times \frac{100 + x}{100} \times \frac{94 + x}{100}
\)

Итоговая сумма через два года составляет \( 34\,320 \):

\(
30\,000 \times \frac{100 + x}{100} \times \frac{94 + x}{100} = 34\,320
\)

Упростим выражение:

\(
\frac{(100 + x)(94 + x)}{100 \times 100} \times 30\,000 = 34\,320
\)

\(
\frac{(100 + x)(94 + x)}{10\,000} \times 30\,000 = 34\,320
\)

\(
3 \times (100 + x)(94 + x) = 34\,320
\)

Раскроем скобки:

\(
(100 + x)(94 + x) = 100 \times 94 + 100 \times x + 94 \times x + x^2 =
\)
\(
= 9\,400 + 100x + 94x + x^2 = 9\,400 + 194x + x^2
\)

Тогда:

\(
3 \times (9\,400 + 194x + x^2) = 34\,320
\)

Раскроем скобки:

\(
28\,200 + 582x + 3x^2 = 34\,320
\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(
3x^2 + 582x + 28\,200 — 34\,320 = 0
\)

\(
3x^2 + 582x — 6\,120 = 0
\)

Разделим обе части на 3:

\(
x^2 + 194x — 2\,040 = 0
\)

Это квадратное уравнение.

Вычислим дискриминант:

\(
D = 194^2 — 4 \times 1 \times (-2\,040)
\)

\(
D = 37\,636 + 8\,160 = 45\,796
\)

Найдём корни уравнения:

\(
x = \frac{-194 \pm \sqrt{45\,796}}{2}
\)

\(
\sqrt{45\,796} = 214
\)

\(
x_1 = \frac{-194 — 214}{2} = \frac{-408}{2} = -204
\)

\(
x_2 = \frac{-194 + 214}{2} = \frac{20}{2} = 10
\)

Так как ставка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\(
x = 10
\)

Ответ: годовая ставка равна \( 10\% \).