Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 110 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была менее 20%. К этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15%. Какой была первоначальная масса раствора?
Пусть масса раствора \( x \) кг:
\(
\frac{3}{x} + 15\% = \frac{3 + 6}{x + 6}, \quad \frac{3}{x} = \frac{3}{20}
\)
Уравнение:
\(
60(x + 6) + 3x (x + 6) = 180x
\)
Раскрываем скобки:
\(
60x + 360 + 3x^2 + 18x = 180x
\)
Приводим подобные:
\(
3x^2 — 102x + 360 = 0
\)
Делим на 3:
\(
x^2 — 34x + 120 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-34)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 — 480 = 676
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{34 — 26}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{34 + 26}{2} = 30
\)
Ответ: \( x = 30 \, \text{кг} \).
Обозначим первоначальную массу раствора как \( m \). В этом растворе содержится 3 кг соли, и его концентрация менее 20%. Это значит, что:
\(
\frac{3}{m} < 0.2 \implies m > 15 \text{ кг}
\)
После добавления 6 кг соли, общее количество соли станет:
\(
3 + 6 = 9 \text{ кг}
\)
Общая масса раствора после добавления соли составит:
\(
m + 6 \text{ кг}
\)
Концентрация соли после добавления будет:
\(
\frac{9}{m + 6}
\)
Согласно условию задачи, эта концентрация увеличилась на 15%, то есть:
\(
\frac{9}{m + 6} = \frac{3}{m} + 0.15
\)
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( m(m + 6) \):
\(
9m = 3(m + 6) + 0.15m(m + 6)
\)
Раскроем скобки:
\(
9m = 3m + 18 + 0.15m^2 + 0.9m
\)
Соберем все члены в одну сторону:
\(
0.15m^2 + (0.9m — 9m + 3m) + 18 = 0
\)
Упростим:
\(
0.15m^2 — 5.1m + 18 = 0
\)
Умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:
\(
15m^2 — 510m + 1800 = 0
\)
Теперь применим дискриминант:
\(
D = (-510)^2 — 4 \cdot 15 \cdot 1800
\)
\(
D = 260100 — 108000 = 152100
\)
Теперь найдем корни уравнения:
\(
m = \frac{510 \pm \sqrt{152100}}{2 \cdot 15}
\)
\(
\sqrt{152100} = 390
\)
\(
m = \frac{510 \pm 390}{30}
\)
Таким образом, получаем два корня:
1. \( m_1 = \frac{900}{30} = 30 \)
2. \( m_2 = \frac{120}{30} = 4 \)
Так как первоначальная масса раствора должна быть больше 15 кг, принимаем только \( m_1 = 30 \) кг.
Таким образом, первоначальная масса раствора составила 30 кг.
Повторение курса алгебры
