ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 137 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что не существует таких значений \( x \) и \( y \), при которых многочлены \( 5x^2 — 8xy — 3y^2 \) и \( -4x^2 + 8xy + 5y^2 \) одновременно принимали бы отрицательные значения.

Не выполняются оба неравенства:
\( 5x^2 — 8xy — 3y^2 < 0 \), \( -4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0 \);
\( (5x^2 — 8xy — 3y^2) + (-4x^2 + 8xy + 5y^2) < 0 \);
\( x^2 + 2y^2 < 0 \), \( x^2 \geq 0 \), \( 2y^2 \geq 0 \), \( x, y \in \emptyset \);
Что и требовалось доказать.

Нам нужно доказать, что не выполняются одновременно оба неравенства:

\(
5x^2 — 8xy — 3y^2 < 0,
\)
\(
-4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0.
\)

Для этого рассмотрим сумму левых частей этих неравенств:

\(
(5x^2 — 8xy — 3y^2) + (-4x^2 + 8xy + 5y^2).
\)

Выполнив приведение подобных членов, получаем:

\(
5x^2 — 8xy — 3y^2 — 4x^2 + 8xy + 5y^2 = x^2 + 2y^2.
\)

Таким образом, сумма левых частей неравенств равна \( x^2 + 2y^2 \). Следовательно, если оба неравенства выполняются, то должно быть выполнено следующее:

\(
x^2 + 2y^2 < 0.
\)

Однако выражение \( x^2 + 2y^2 \) не может быть отрицательным, так как:

1. \( x^2 \geq 0 \) для любого \( x \), так как квадрат любого числа неотрицателен.
2. \( 2y^2 \geq 0 \) для любого \( y \), так как произведение положительного числа (в данном случае \( 2 \)) на квадрат числа также неотрицательно.

Следовательно, \( x^2 + 2y^2 \geq 0 \) для любых значений \( x \) и \( y \).

Из этого следует, что условие \( x^2 + 2y^2 < 0 \) невозможно. Таким образом, оба исходных неравенства не могут выполняться одновременно.

Итак, доказано, что:

\(
x, y \in \emptyset,
\)

что и требовалось доказать.