ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 140 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При некотором значении \(y\) значение выражения \(y^2 — 4y + 2\) равно \(5\). Найдите при этом значении \(y\) значение выражения \(3y^2 — 12y + 10\).

Известно, что:
\( y^2 — 4y + 2 = 5 \);

Значение заданного выражения:
\( 3y^2 — 12y + 10 = 3y^2 — 12y + 6 + 4; \)
\( 3(y^2 — 4y + 2) + 4 = 3 \cdot 5 + 4 = 19; \)

Ответ: 19.

Сначала решим уравнение \( y^2 — 4y + 2 = 5 \).

Перепишем его в стандартной форме:
\(
y^2 — 4y + 2 — 5 = 0
\)
\(
y^2 — 4y — 3 = 0
\)

Теперь найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\(
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
\)
где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -3 \).

Подставим значения:
\(
y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\)
\(
y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2}
\)
\(
y = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}
\)
\(
y = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}
\)
\(
y = 2 \pm \sqrt{7}
\)

Таким образом, у нас есть два значения \( y: 2 + \sqrt{7} \) и \( 2 — \sqrt{7} \).

Теперь найдем значение выражения \( 3y^2 — 12y + 10 \).

Подставим \( y = 2 + \sqrt{7} \):
\(
3(2 + \sqrt{7})^2 — 12(2 + \sqrt{7}) + 10
\)
Сначала найдем \( (2 + \sqrt{7})^2 \):
\(
(2 + \sqrt{7})^2 = 4 + 4\sqrt{7} + 7 = 11 + 4\sqrt{7}
\)
Теперь подставим это в выражение:
\(
3(11 + 4\sqrt{7}) — 12(2 + \sqrt{7}) + 10
\)
\(
= 33 + 12\sqrt{7} — 24 — 12\sqrt{7} + 10
\)
\(
= 33 — 24 + 10
\)
\(
= 19
\)

Теперь подставим \( y = 2 — \sqrt{7} \):
\(
3(2 — \sqrt{7})^2 — 12(2 — \sqrt{7}) + 10
\)
Сначала найдем \( (2 — \sqrt{7})^2 \):
\(
(2 — \sqrt{7})^2 = 4 — 4\sqrt{7} + 7 = 11 — 4\sqrt{7}
\)
Теперь подставим это в выражение:
\(
3(11 — 4\sqrt{7}) — 12(2 — \sqrt{7}) + 10
\)
\(
= 33 — 12\sqrt{7} — 24 + 12\sqrt{7} + 10
\)
\(
= 33 — 24 + 10
\)
\(
= 19
\)

Таким образом, в обоих случаях значение выражения \( 3y^2 — 12y + 10 = 19 \).

Ответ: \( 19 \).