ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 143 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Числа \(x\) и \(y\) таковы, что \(x^2 + y^2 = 1\). Найдите значение выражения \(x^6 + 3x^2 y^2 + y^6\).

Значение:
\( x^2 + y^2 = 1 \);
Искомое выражение:
\( N = x^6 + 3x^2y^2 \cdot 1 + y^6 \);
\( N = x^6 + y^6 + 3x^2y^2 (x^2 + y^2) \);
\( N = x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6 \);
\( N = (x^2 + y^2)^3 = 1 \);
Ответ: \( 1 \).

Дано уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \). Мы можем выразить \( x^6 + 3x^2 y^2 + y^6 \) через \( x^2 \) и \( y^2 \).

Обозначим \( a = x^2 \) и \( b = y^2 \). Тогда \( a + b = 1 \).

Теперь рассмотрим выражение:

\(
x^6 + 3x^2 y^2 + y^6 = a^3 + 3ab + b^3
\)

Используем формулу для суммы кубов:

\(
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\)

Так как \( a + b = 1 \), то:

\(
a^3 + b^3 = 1(a^2 — ab + b^2) = a^2 — ab + b^2
\)

Также, мы знаем, что:

\(
a^2 + b^2 = (a + b)^2 — 2ab = 1 — 2ab
\)

Таким образом:

\(
a^3 + b^3 = (1 — 2ab) — ab = 1 — 3ab
\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(
x^6 + 3x^2 y^2 + y^6 = (1 — 3ab) + 3ab = 1 — 3ab + 3ab = 1
\)

Таким образом, значение выражения \( x^6 + 3x^2 y^2 + y^6 \) равно 1.