ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 145 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При некоторых значениях \(x_1\) и \(x_2\) выполняются равенства \(x_1 — x_2 = 7\) и \(x_1 x_2 = 4\). Найдите при этих же значениях \(x_1\) и \(x_2\) значения следующих выражений:
1) \(x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2\);
2) \(x_1^2 + x_2^2\);
3) \((x_1 + x_2)^2\);
4) \(x_1^3 — x_2^3\).

\( x_1 — x_2 = 7, \, x_1 x_2 = 4 \)

1)
\(
x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_2 — x_1) = -x_1 x_2 (x_1 — x_2) = -4 \cdot 7 = -28
\)
Ответ: \(-28\).

2)
\(
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 — x_2)^2 + 2x_1 x_2 = (7)^2 + 2 \cdot 4 = 49 + 8 = 57
\)
Ответ: \(57\).

3)
\(
(x_1 + x_2)^2 = (x_1 — x_2)^2 + 4x_1 x_2 = (7)^2 + 4 \cdot 4 = 49 + 16 = 65
\)
Ответ: \(65\).

4)
\(
x_1^3 — x_2^3 = (x_1 — x_2) \cdot (x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)
\)
\(
= 7 \cdot ((7)^2 + 3 \cdot 4) = 7 \cdot (49 + 12) = 427
\)
Ответ: \(427\).

известно следующее:
\( x_1 — x_2 = 7, \, x_1 x_2 = 4 \)

1)
Найдем значение выражения \( x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 \).
Вынесем общий множитель \( x_1 x_2 \):
\(
x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 = x_1 x_2 \cdot (x_2 — x_1)
\)
Заменим \( x_2 — x_1 \) на \(-(x_1 — x_2)\):
\(
x_1 x_2 \cdot (x_2 — x_1) = -x_1 x_2 \cdot (x_1 — x_2)
\)
Подставим значения \( x_1 — x_2 = 7 \) и \( x_1 x_2 = 4 \):
\(
-4 \cdot 7 = -28
\)
Ответ: \(-28\).

2)
Найдем значение выражения \( x_1^2 + x_2^2 \).
Используем формулу:
\(
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 — x_2)^2 + 2x_1 x_2
\)
Подставим значения \( x_1 — x_2 = 7 \) и \( x_1 x_2 = 4 \):
\(
x_1^2 + x_2^2 = (7)^2 + 2 \cdot 4
\)
Выполним вычисления:
\(
49 + 8 = 57
\)
Ответ: \(57\).

3)
Найдем значение выражения \( (x_1 + x_2)^2 \).
Используем формулу:
\(
(x_1 + x_2)^2 = (x_1 — x_2)^2 + 4x_1 x_2
\)
Подставим значения \( x_1 — x_2 = 7 \) и \( x_1 x_2 = 4 \):
\(
(x_1 + x_2)^2 = (7)^2 + 4 \cdot 4
\)
Выполним вычисления:
\(
49 + 16 = 65
\)
Ответ: \(65\).

4)
Найдем значение выражения \( x_1^3 — x_2^3 \).
Используем формулу разности кубов:
\(
x_1^3 — x_2^3 = (x_1 — x_2) \cdot (x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)
\)
Ранее мы нашли \( x_1^2 + x_2^2 = 57 \). Подставим это значение и добавим \( x_1 x_2 = 4 \):
\(
x_1^3 — x_2^3 = 7 \cdot (57 + 4) = 7 \cdot 61
\)
Выполним вычисления:
\(
7 \cdot 61 = 427
\)
Ответ: \(427\).