Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 153 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Докажите следующие тождества:}
\)
1. \(
\frac{a}{a-b} — \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0
\)
2. \(
\frac{8a^2 + 4}{4a^2 — 1} — \frac{2a — 2}{2a + 1} — \frac{2a + 1}{2a — 1} = \frac{1}{2a — 1}
\)
3. \(
\frac{a+5}{a^2 — 5a} + \frac{a-5}{5a + 25} + \frac{20}{25 — a^2} = \frac{a-5}{5a}
\)
4. \(
\frac{b+2}{2a+1} — \frac{b^2 — 2b}{2ab — 2 + b — 4a} = \frac{2}{2a+1}
\)
1)
\( \frac{a}{a-b} — \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0; \)
\( \frac{a}{a-b} — \frac{a+b}{a} — \frac{b^2}{a(a-b)} = 0; \)
\( \frac{a^2 — (a+b)(a-b) — b^2}{a(a-b)} = 0; \)
\( \frac{a^2 — a^2 + b^2 — b^2}{a(a-b)} = 0; \)
Тождество доказано.
2)
\( \frac{8a^2 + 4}{4a^2-1} — \frac{2a-2}{2a+1} — \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1}; \)
\( \frac{8a^2 + 4}{(2a-1)(2a+1)} — \frac{2a-2}{2a+1} — \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1}; \)
\( \frac{8a^2 + 4 — (2a-2)(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a+1 + 1}{2a-1}; \)
\( \frac{8a^2 + 4 — 4a^2 + 2a + 4a — 2}{2a+1} = 2a+2; \)
\( \frac{4a^2 + 6a + 2}{2a+1} = 2a+2; \)
\( \frac{(2a+1)(2a+2)}{2a+1} = 2a+2; \)
Тождество доказано.
3)
\(
\frac{a+5}{a^2-5a} + \frac{a-5}{5a+25} + \frac{20}{25-a^2} = \frac{a-5}{5a};
\)
\(
\frac{a+5}{a(a-5)} + \frac{a-5}{5(a+5)} — \frac{20}{(a-5)(5+a)} = \frac{a-5}{5a};
\)
\(
\frac{5 \cdot (a+5)^2 + a \cdot (a-5)^2 — 20 \cdot 5a}{5a(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a};
\)
\(
\frac{5(a^2+10a+25) + a(a^2-10a+25) — 100a}{(a-5)(a+5)} = a-5;
\)
\(
\frac{5a^2+50a+125 + a^3-10a^2+25a-100a}{(a-5)(a+5)} = a-5;
\)
\(
\frac{a^3-5a^2-25a+125}{(a-5)(a+5)} = a-5;
\)
\(
\frac{(a-5)(a+5)(a-5)}{(a-5)(a+5)} = a-5;
\)
Тождество доказано.
4)
\(
\frac{b+2}{2a+1} — \frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a} = \frac{2}{2a+1};
\)
\(
\frac{b+2}{2a+1} — \frac{2}{2a+1} = \frac{b(b-2)}{2a(b-2)+(b-2)};
\)
\(
\frac{b+2-2}{2a+1} = \frac{b}{2a+1};
\)
Тождество доказано.
1)
Рассмотрим выражение:
\( \frac{a}{a-b} — \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0 \).
Приведем все дроби к общему знаменателю:
\( \frac{a}{a-b} — \frac{a+b}{a} — \frac{b^2}{a(a-b)} = 0 \).
Общий знаменатель: \( a(a-b) \).
Запишем числитель:
\( \frac{a^2 — (a+b)(a-b) — b^2}{a(a-b)} = 0 \).
Раскроем скобки:
\( \frac{a^2 — (a^2 — ab + ab — b^2) — b^2}{a(a-b)} = 0 \).
Упростим выражение:
\( \frac{a^2 — a^2 + b^2 — b^2}{a(a-b)} = 0 \).
Получаем:
\( \frac{0}{a(a-b)} = 0 \).
Тождество доказано.
2)
Рассмотрим выражение:
\( \frac{8a^2 + 4}{4a^2-1} — \frac{2a-2}{2a+1} — \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1} \).
Разложим знаменатель первой дроби:
\( \frac{8a^2 + 4}{(2a-1)(2a+1)} — \frac{2a-2}{2a+1} — \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1} \).
Приведем первые две дроби к общему знаменателю:
\( \frac{8a^2 + 4 — (2a-2)(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a+1 + 1}{2a-1} \).
Раскроем скобки в числителе:
\( \frac{8a^2 + 4 — 4a^2 + 2a + 4a — 2}{(2a+1)(2a-1)} = \frac{2a+2}{2a-1} \).
Упростим числитель:
\( \frac{4a^2 + 6a + 2}{(2a+1)(2a-1)} = \frac{2a+2}{2a-1} \).
Сократим дробь:
\( \frac{(2a+1)(2a+2)}{(2a+1)(2a-1)} = \frac{2a+2}{2a-1} \).
Тождество доказано.
3)
Рассмотрим выражение:
\( \frac{a+5}{a^2-5a} + \frac{a-5}{5a+25} + \frac{20}{25-a^2} = \frac{a-5}{5a} \).
Разложим знаменатели:
\( \frac{a+5}{a(a-5)} + \frac{a-5}{5(a+5)} — \frac{20}{(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a} \).
Приведем к общему знаменателю \( 5a(a-5)(a+5) \):
\( \frac{5 \cdot (a+5)^2 + a \cdot (a-5)^2 — 20 \cdot 5a}{5a(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a} \).
Раскроем скобки:
\( \frac{5(a^2 + 10a + 25) + a(a^2 — 10a + 25) — 100a}{5a(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a} \).
Выполним упрощение:
\( \frac{5a^2 + 50a + 125 + a^3 — 10a^2 + 25a — 100a}{5a(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a} \).
Соберем подобные:
\( \frac{a^3 — 5a^2 — 25a + 125}{5a(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a} \).
Разложим числитель:
\( \frac{(a-5)(a+5)(a-5)}{5a(a-5)(a+5)} = \frac{a-5}{5a} \).
Сократим дробь:
\( a-5 = a-5 \).
Тождество доказано.
4)
Рассмотрим выражение:
\( \frac{b+2}{2a+1} — \frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a} = \frac{2}{2a+1} \).
Разложим знаменатель второй дроби:
\( \frac{b+2}{2a+1} — \frac{2}{2a+1} = \frac{b(b-2)}{2a(b-2)+(b-2)} \).
Приведем первые две дроби к общему знаменателю:
\( \frac{b+2-2}{2a+1} = \frac{b}{2a+1} \).
Сократим дробь:
\( \frac{b}{2a+1} = \frac{b}{2a+1} \).
Тождество доказано.