ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 168 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях } a \text{ уравнение } \frac{(x — a)(x — 4a)}{x + 12} = 0 \text{ имеет единственный корень?}
\)

Дано уравнение:
\(
\frac{(x-a)(x-4a)}{(x+12)} = 0
\)
Единственный корень:
\(
x-a = x+12, \, a = -12;
\)
\(
x-4a = x+12, \, a = -3;
\)
Ответ: \(a = -12; \, a = -3.\)

дано уравнение:
\(
\frac{(x-a)(x-4a)}{(x+12)} = 0
\)

чтобы уравнение имело единственный корень, числитель должен равняться нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.
числитель равен нулю, когда:
\(
(x-a)(x-4a) = 0
\)
это уравнение имеет два корня:
\(
x = a
\)
и
\(
x = 4a
\).

чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы эти два корня совпадали. это возможно, если:
\(
a = 4a
\)

решим это уравнение:
\(
a — 4a = 0
\)
\(
-3a = 0
\)
\(
a = 0
\).

теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю:
\(
x+12 \neq 0
\).

при \(a = 0\) уравнение принимает вид:
\(
\frac{(x-0)(x-0)}{(x+12)} = \frac{x^2}{(x+12)}
\)

оно имеет единственный корень \(x = 0\), при этом знаменатель \((x+12)\) не равен нулю.

рассмотрим случай, когда знаменатель не равен нулю, а числитель обращается в ноль только в одной точке. для этого проверим условия:

1. если \(x-a = x+12\), то:
\(
a = -12
\)

2. если \(x-4a = x+12\), то:
\(
-4a = 12 — a = -3
\).

ответ:
\(
a = -12; \, a = -3
\).