ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 169 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\begin{aligned}
&\text{Решите уравнение:} \\
&1)\quad x^4 — 10x^2 + 24 = 0; \\
&2)\quad x^4 + 2x^2 — 24 = 0; \\
&3)\quad x^4 — 3x^2 — 70 = 0; \\
&4)\quad 4x^4 — 5x^2 + 1 = 0.
\end{aligned}
\)

1) \(x^4-10x^2+24=0\);
\(D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4\), тогда:
\(x^2 = \frac{10 — 2}{2} = 4\) и \(x^2 = \frac{10 + 2}{2} = 6\);
\(x_1 = \pm\sqrt{4} = \pm2\) и \(x_2 = \pm\sqrt{6}\);
Ответ: \(-\sqrt{6}; -2; 2; \sqrt{6}\).

2) \(x^4+2x^2-24=0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 24 = 4 + 96 = 100\), тогда:
\(x^2 = \frac{-2 — 10}{2} = -6\) и \(x^2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4\);
\(x_1 = \pm\sqrt{4} = \pm2\);
Ответ: \(-2; 2\).

3) \(x^4-3x^2-70=0\);
\(D = 3^2 + 4 \cdot 70 = 9 + 280 = 289\), тогда:
\(x^2 = \frac{3 — 17}{2} = -7\) и \(x^2 = \frac{3 + 17}{2} = 10\);
\(x_1 = \pm\sqrt{10}\);
Ответ: \(-\sqrt{10}; \sqrt{10}\).

4) \(4x^4-5x^2+1=0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 — 16 = 9\), тогда:
\(x^2 = \frac{5 — 3}{8} = 0.25\) и \(x^2 = \frac{5 + 3}{8} = 1\);
\(x_1 = \pm\sqrt{0.25} = \pm0.5\) и \(x_2 = \pm1\);
Ответ: \(-1; -0.5; 0.5; 1\).

Решить уравнение:

1) \(x^4 — 10x^2 + 24 = 0\)

Заменим \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 — 10y + 24 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4\)

Найдем корни уравнения:
\(y_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6\)
\(y_2 = \frac{10 — \sqrt{4}}{2} = \frac{10 — 2}{2} = 4\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(x^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{6}\)
\(x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2\)

Ответ: \(-\sqrt{6}; -2; 2; \sqrt{6}\).

2) \(x^4 + 2x^2 — 24 = 0\)

Заменим \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 + 2y — 24 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)

Найдем корни уравнения:
\(y_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 + 10}{2} = 4\)
\(y_2 = \frac{-2 — \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 — 10}{2} = -6\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2\)
\(x^2 = -6\) не имеет решений в области вещественных чисел.

Ответ: \(-2; 2\).

3) \(x^4 — 3x^2 — 70 = 0\)

Заменим \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 — 3y — 70 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289\)

Найдем корни уравнения:
\(y_1 = \frac{3 + \sqrt{289}}{2} = \frac{3 + 17}{2} = 10\)
\(y_2 = \frac{3 — \sqrt{289}}{2} = \frac{3 — 17}{2} = -7\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{10}\)
\(x^2 = -7\) не имеет решений в области вещественных чисел.

Ответ: \(-\sqrt{10}; \sqrt{10}\).

4) \(4x^4 — 5x^2 + 1 = 0\)

Заменим \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:
\(4y^2 — 5y + 1 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 — 16 = 9\)

Найдем корни уравнения:
\(y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{8} = \frac{5 + 3}{8} = 1\)
\(y_2 = \frac{5 — \sqrt{9}}{8} = \frac{5 — 3}{8} = 0.25\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1\)
\(x^2 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 0.5\)

Ответ: \(-1; -0.5; 0.5; 1\).