ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 175 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Число \(7\) является корнем уравнения
\(
x^2 + px — 28 = 0
\).
Найдите значение \(p\) и второй корень уравнения.

Дано уравнение:
\(x^2 + px — 28 = 0\);

1) Первый корень:
\(
49 + 7 \cdot p — 28 = 0; \quad 7p = -21, \quad p = -3;
\)

2) Второй корень:
\(
(x — 7)(x — x_0) = x^2 — 3x — 28;
\)
\(
x^2 — x \cdot x_0 — 7x + 7x = x^2 — 3x — 28;
\)
\(
-x_0 — 7 = 3, \quad -x_0 = 4, \quad x_0 = -4;
\)

Ответ: \(-3; -4\).

Если число 7 является корнем уравнения \(x^2 + px — 28 = 0\), то мы можем подставить \(x = 7\) в уравнение:

\(
7^2 + p \cdot 7 — 28 = 0.
\)

Это упрощается до:

\(
49 + 7p — 28 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
7p + 21 = 0.
\)

Отсюда:

\(
7p = -21 \quad \Rightarrow \quad p = -3.
\)

Теперь мы знаем, что \(p = -3\). Уравнение теперь выглядит так:

\(
x^2 — 3x — 28 = 0.
\)

Чтобы найти второй корень, воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a},
\)

где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -28\).

Подставим значения:

\(
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{3 \pm 11}{2}.
\)

Теперь найдем корни:

1. \(x_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7\) (это известный корень).
2. \(x_2 = \frac{3 — 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).

Таким образом, значение \(p = -3\), а второй корень уравнения равен \(-4\).