ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 176 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Число \(\frac{1}{3}\) является корнем уравнения
\(
3x^2 — bx + 2 = 0
\).
Найдите значение \(b\) и второй корень уравнения.

Дано уравнение:
\(3x^2 — bx + 2 = 0\);

1) Первый корень:
\(\frac{1}{3}b + 2 = 0\);
\(3 \cdot \frac{1}{9} — \frac{b}{3} + 2 = 0\);
\(b = 7\);

2) Второй корень:
\((3x — 1)(x — x_0) = 3x^2 — 7x + 2\);
\(3x^2 — 3x \cdot x_0 — x + x_0 = 3x^2 — 7x + 2\);
\(-3x_0 — 1 = -7, \, 3x_0 = 6, \, x_0 = 2\);

Ответ: \(b = 7\); второй корень \(x_0 = 2\).

Если \( \frac{1}{3} \) является корнем уравнения \( 3x^2 — bx + 2 = 0 \), то мы можем подставить это значение в уравнение и найти \( b \).

Подставляем \( x = \frac{1}{3} \):

\(
3\left(\frac{1}{3}\right)^2 — b\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = 0
\)

Упрощаем:

\(
3 \cdot \frac{1}{9} — \frac{b}{3} + 2 = 0
\)

\(
\frac{1}{3} — \frac{b}{3} + 2 = 0
\)

Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

\(
1 — b + 6 = 0
\)

Соберём подобные:

\(
7 — b = 0 — b = 7
\)

Теперь, чтобы найти второй корень уравнения, используем формулу для корней квадратного уравнения:

Корни уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) находятся по формуле:

\(
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{и} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
\)

Где \( a = 3 \), \( b = -7 \), \( c = 2 \).

Первый корень \( x_1 = \frac{1}{3} \). Найдем второй корень \( x_2 \):

1. Сумма корней:
\(
x_1 + x_2 = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3}
\)
Подставим \( x_1 \):
\(
\frac{1}{3} + x_2 = \frac{7}{3}
\)
Выразим \( x_2 \):
\(
x_2 = \frac{7}{3} — \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2
\)

2. Произведение корней:
\(
x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}
\)
Проверим:
\(
\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}
\)

Таким образом, значение \( b = 7 \) и второй корень уравнения равен \( 2 \).